Высшая математика. Семёнова Т.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак
Даламбера.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера:
.
Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При х = 1: ряд сходится по признаку Лейбница
При х = -1: ряд расходится (гармонический ряд).
Теоремы Абеля.
(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)
Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x
1
, то он сходится и притом абсолютно для всех .
Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то
где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство: 
                                                              .

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак
Даламбера.




 Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:




                                                                      .


Получаем, что этот ряд сходится при        и расходится при       .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.


При х = 1:                 ряд сходится по признаку Лейбница


При х = -1:                    ряд расходится (гармонический ряд).



                                      Теоремы Абеля.

              (Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)



 Теорема. Если степенной ряд                                              сходится при x = x1
, то он сходится и притом абсолютно для всех           .



 Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то




где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Страницы