Высшая математика. Семёнова Т.В. - 13 стр.

 Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

        (Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)



 Ряд          сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули
его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося
числового ряда с положительными членами :



т.е. имеет место неравенство:


                                                 .




 Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд           мажорируется числовым


рядом        .




 Пример. Исследовать на сходимость ряд           .



Так как           всегда, то очевидно, что           .



При этом известно, что общегармонический ряд            при α=3>1 сходится, то в
соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом
в любом интервале.




 Пример. Исследовать на сходимость ряд       .



На отрезке [-1,1] выполняется неравенство            т.е. по признаку Вейерштрасса на
этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-∝, -1) ∪ (1, ∝) расходится.

                        Свойства равномерно сходящихся рядов.