Высшая математика. Семёнова Т.В. - 11 стр.

Определение. Последовательность {fn(x)} сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если
для любого числа ε>0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N
= N(ε, x), такой, что неравенство




выполняется при n>N.

 При выбранном значении ε>0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой номер и,
следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное
множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться
для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек.



  Определение. Последовательность {fn(x)} равномерно сходится к функции f(x) на
отрезке [a,b], если для любого числа ε>0 существует номер N = N(ε), такой, что
неравенство




выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].




 Пример. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.




 Построим графики этой последовательности: