Высшая математика. Семёнова Т.В. - 10 стр.

  3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой
  членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.



      Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно
сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.



  4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом
число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе
может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма
которого равна сумме исходного ряда.




 5) Если ряды      и      сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и σ,
то ряд, составленный из всех произведений вида           взятых в каком угодно
порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S⋅σ - произведению сумм
перемножаемых рядов.

 Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно
получить расходящийся ряд.

                       Функциональные последовательности.

 Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется
функциональным.

 Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых
рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х
сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных
рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

 Совокупность таких значений называется областью сходимости.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является
некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться
некоторая функция: