Высшая математика. Семёнова Т.В. - 21 стр.

Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в
некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в
некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.

 Это решение можно представить степенным рядом:




Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные ci.

      Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов.
Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное
уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами
(дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)

 Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях
уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из
которой последовательно определяем коэффициенты ci.

 Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.




 Пример. Найти решение уравнения           c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде




 Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:




Отсюда получаем:




………………