Высшая математика. Семёнова Т.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Пусть в результате получится ряд a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ … .Тогда 1 = (1-х)
(a
0
+ a
1
x+ a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ …) =
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+…- a
0
x - a
1
x
2
- a
2
x
3
-…= a
0
+ (a
1
- a
0
)x + (a
2
- a
1
)x
2
+ ( a
3
-
a
2
)x
3
+…
Отсюда a
0
=1, a
1
=a
0
, a
2
=a
1
, a
3
=a
2
…, следовательно =
− x1
1
1 + х + х
2
+х
3
+…
Если применить к той же функции формулу Маклорена
,
то получаем:
Итого, получаем:
Рассмотрим способ разложения функции в ряд
при помощи интегрирования.
С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно
или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.
Находим дифференциал функции
и интегрируем его в пределах от 0 до
х. 
Пусть в результате получится ряд                 a 0 + a1x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + …              .Тогда         1 = (1-х)
                 2         3
(a 0 + a 1 x+ a 2 x + a 3 x + …) =

        = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +…- a 0 x - a 1 x 2 - a 2 x 3 -…= a 0 + (a 1 - a 0 )x + (a 2 - a 1 )x 2 + ( a 3 -
a 2 )x 3 + …

                                                                              1
Отсюда     a 0 =1, a 1 =a 0 , a 2 =a 1 , a 3 =a 2 …, следовательно                = 1 + х + х 2 +х 3 +…
                                                                             1− x

Если применить к той же функции формулу Маклорена



                                                                                                      ,



то получаем:




Итого, получаем:



 Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.



С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно
или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

  Находим дифференциал функции                                       и интегрируем его в пределах от 0 до
х.

Страницы