Высшая математика. Семёнова Т.В. - 26 стр.

существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).



  Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд,
коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x)
сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается
в ряд Фурье.




                   Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.

 Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2π и на отрезке

[-π;π] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок

[-π;π] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них
функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х,
причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его

сумма равна                    , т.е. среднему арифметическому предельных значений
слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке,
который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

 Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно –
монотонной на отрезке [-π;π].

 Теорема. Если функция f(x) имеет период 2π, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) –
непрерывные функции на отрезке [-π;π] или имеют конечное число точек разрыва
первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х,
причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна

                 . При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом
отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

 Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на
отрезке [-π;π].



                  Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

 Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от
разложения в ряд Фурье периодической функции.