Высшая математика. Семёнова Т.В. - 3 стр.

 3) Рассмотрим два ряда           и      . Суммой или разностью этих рядов будет
называться ряд           , где элементы получены в результате сложения (вычитания)
исходных элементов с одинаковыми номерами.


 Теорема. Если ряды        и       сходятся и их суммы равны соответственно S и σ, то
ряд             тоже сходится и его сумма равна S + σ.




Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.



 При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и
нахождение суммы ряда.




                                   Критерий Коши

                 (необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

  Для того, чтобы последовательность                    была сходящейся, необходимо и
достаточно, чтобы для любого            существовал такой номер N, что при n > N и
любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:


                                                 .

 Доказательство. (необходимость)

Пусть         , тогда для любого числа    найдется номер N такой, что неравенство


          выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также

неравенство              . Учитывая оба неравенства, получаем:




Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.