Высшая математика. Семёнова Т.В. - 5 стр.

 Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к.                при любом
n.

                          Ряды с неотрицательными членами

   При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с
неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно
получить ряды с отрицательными членами.




  Теорема. Для сходимости ряда       с неотрицательными членами необходимо и
достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.



                  Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.


Пусть даны два ряда          и       при un, vn ≥ 0.




 Теорема. Если un ≤ vn при любом n, то из сходимости ряда          следует сходимость ряда
       , а из расходимости ряда       следует расходимость ряда


 Доказательство. Обозначим через Sn и σn частные суммы рядов                 и        . Т.к. по
условию теоремы ряд          сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n σn
< M, где М – некоторое число. Но т.к. un ≤ vn, то Sn ≤ σn то частные суммы ряда          тоже
ограничены, а этого достаточно для сходимости.


 Пример. Исследовать на сходимость ряд


Т.к.         , а гармонический ряд         расходится, то расходится и ряд        .



 Пример. Исследовать на сходимость ряд


Т.к.           , а ряд       сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд


         тоже сходится.