Высшая математика. Семёнова Т.В. - 81 стр.

     В отдельных случаях при больших n удается заменить формулу
Бернулли приближенными формулами. Такие формулы, которые получаются
при условии n → ∞ называются асимптотическими.
     Если n достаточно велико, а p - величина очень малая, для формулы
Бернулли имеет место приближенная (асимптотическая) формула

                                                  λx − λ
                        Pn ( x) = c p q
                                   x
                                   n
                                       x n− x
                                                ≈    e
                                                  x!
     Здесь λ = np ( λ - греческая буква "лямбда"). Эта формула называется
формулой Пуассона. По формуле Пуассона вычисляются вероятности числа
появлений очень редких событий в массовых испытаниях.
     Задача. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В течение
часа любой абонент независимо от остальных может сделать вызов с
вероятностью 0,05. Требуется найти вероятность того, что в течение часа
было не более 7 вызовов.
     Здесь λ = np = 5. Пусть x - число вызовов. Нас интересуют значения x,
равные 0, 1, K ,7.

                  50 −5              5 −1          57 −7
           P(0) =    e ;       P(1) = e ; K P(7) =    e
                  0!                 1!            7!

                 −5 ⎛      52 53 54   55   56   57 ⎞
 P(0 ≤ x ≤ 7) = e ⎜1 + 5 +    +  +  +    +    +    ⎟ ≈ 0,867
                  ⎝         2   6 24 120 720 5040⎠

     Если n достаточно велико, p не сильно отличается от 0,5, имеет место
формула Муавра-Лапласа, иногда называемая локальной формулой
Лапласа.
                                                          −t 2
                                                 1                             x − np
                   Pn ( x) = cnx p x qn − x =         e    2     ,   где t =
                                                2πnpq                            npq

      Из формулы видно, что одинаковые отклонения от величины np вправо
и влево здесь имеют одинаковые вероятности. В формуле Бернулли это
имеет место лишь при p=0.5.
      Чтобы определить вероятность того, что в 50 испытаниях по схеме
Бернулли при p=0.45 событие А наступило 30 раз, нужно воспользоваться
таблицей значений функции y = ex . Часто встречаются таблицы значений
так называемой "локальной" функции Лапласа.