Высшая математика. Семёнова Т.В. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

P((ξ = i)∩(η = j)) =
36
1
Так как P(ξ = i) =
6
1
и P(η = j)) =
6
1
, очевидно, что по определению ξ и η –
независимые случайные величины.
Пример 2. Даны две независимые случайные величины ξ и η с
заданными законами распределения
ξ
0
1
η
1
2
Р
3
1
3
2
Р
4
1
4
3
Определим случайные величины α и β следующим образом: α = ξ + η,
β = ξη. Выясним, являются ли независимыми случайные величины α и β.
Составим закон распределения α. Наименьшее значение α равняется 1.
Вероятность события α = 1 равна вероятности события (ξ = 0)
∩(η = 1),
которая в силу независимости ξ и η равна
12
1
4
1
3
1
=⋅ . Событие α = 2
совпадает с событием ((ξ = 0)
∩(η = 2))
U
((ξ = 1)∩(η = 1)). Его вероятность
равна
12
5
4
1
3
2
4
3
3
1
=⋅+⋅ .
Максимальное значение α, равное 3, имеет вероятность
2
1
. Таким образом,
закон распределения случайной величины α можно представить таблицей
α
1
2 3
Р
12
1
12
5
12
6
Закон распределения β представляется таблицей
β
0
1 2
Р
3
1
12
5
2
1
Рассмотрим события α = 3 и β = 0. Очевидно, что
Р(α = 3) Р(β = 0) =
6
1
3
1
2
1
=⋅
С другой стороны, событие (α = 3)
∩(β = 0) – невозможное, так как α = 3
только при ξ = 1, а β = 0 лишь при ξ = 0. Отсюда следует, что 
                                              1
                       P((ξ = i)∩(η = j)) =
                                              36

                1              1
Так как P(ξ = i) =и P(η = j)) = , очевидно, что по определению ξ и η –
                6              6
независимые случайные величины.

      Пример 2. Даны две независимые случайные величины ξ и η с
заданными законами распределения
             ξ       0    1          η         1    2
                     1    2                    1    3
             Р                       Р
                     3    3                    4    4
      Определим случайные величины α и β следующим образом: α = ξ + η,
β = ξη. Выясним, являются ли независимыми случайные величины α и β.
      Составим закон распределения α. Наименьшее значение α равняется 1.
Вероятность события α = 1 равна вероятности события (ξ = 0)∩(η = 1),
                                                  1 1 1
которая в силу независимости ξ и η равна           ⋅ = . Событие α = 2
                                                  3 4 12
совпадает с событием ((ξ = 0)∩(η = 2)) U ((ξ = 1)∩(η = 1)). Его вероятность
равна

                          1 3 2 1 5
                           ⋅ + ⋅ = .
                          3 4 3 4 12
                                                      1
Максимальное значение α, равное 3, имеет вероятность    . Таким образом,
                                                      2
закон распределения случайной величины α можно представить таблицей
                         α       1      2     3
                                 1      5     6
                         Р
                                12     12    12
Закон распределения β представляется таблицей
                         β       0      1     2
                                 1      5     1
                         Р
                                 3     12     2
      Рассмотрим события α = 3 и β = 0. Очевидно, что

                                           1 1 1
                     Р(α = 3) Р(β = 0) =    ⋅ =
                                           2 3 6

С другой стороны, событие (α = 3)∩(β = 0)      – невозможное, так как α = 3
только при ξ = 1, а β = 0 лишь при ξ = 0. Отсюда следует, что

Страницы