Высшая математика. Семёнова Т.В. - 92 стр.

Будем говорить, что случайная величина β распределена по закону Бернулли.
Такой случайной величиной является частота появления события А в n
повторных независимых испытаниях, если в каждом испытании событие А
происходит с вероятностью p.
     Рассмотрим отдельное i-е испытание. Пространство элементарных
исходов для него имеет вид

                                       Ω = {A, A}

Определим на этом пространстве случайную величину ξi следующим
образом:

                  ξi = 1, если происходит событие А;

                  ξi = 0, если происходит событие A

Закон распределения случайной величины ξi рассматривался в предыдущем
параграфе.
                        ξi       1       0
                        Р        p    q = 1–p

                                Mξ = ⋅р; Dξ = рq

Для i = 1,2,…,n получаем систему из n независимых случайных величин ξi,
имеющих одинаковые законы распределения. Если теперь сравнить законы
                                                              n
распределения двух случайных величин β и                     ∑ ξi ,   то можно сделать
                                                             i =1
                        n
очевидный вывод: β =   ∑ ξi . Отсюда следует, что для случайной величины β,
                       i =1
имеющей закон распределения Бернулли, математическое ожидание и
дисперсия определяются формулами
                                   n          n          n
                  Mβ = M ∑ ξ i =          ∑ Mξ i =    ∑ p = np;
                               i =1       i =1       i =1

                               n          n          n
                  Dβ = D ∑ ξ i =         ∑ Dξ i = ∑ pq = npq
                              i =1       i =1       i =1

     Найдём оценку величины р — вероятности успеха в одном испытании
некоторого биномиального эксперимента.     Для этого проведём n испытаний и
подсчитаем *х – xчисло успехов. Оценку р* неизвестной величины р определим
формулой р = .
                n
     Пример.