Высшая математика. Семёнова Т.В. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Составим закон распределения случайной величины ξ – Mξ
ξ– Mξ
6
7
−
6
1
−
6
5
Р
6
1
2
1
3
1
а затем закон распределения случайной величины (ξ – Mξ)
2
(ξ– Mξ)
2
36
1
36
25
36
49
Р
2
1
3
1
6
1
Теперь можно рассчитать величину Dξ :
Dξ =
36
1
⋅
2
1
+
36
25
⋅
3
1
+
36
49
⋅
6
1
=
36
17
Используя определение дисперсии, для дискретной случайной величины
формулу вычисления дисперсии можно представить в таком виде:
Dξ =
()
∑
=
ξ−
n
i
ii
pMx
1
2
Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:
Dξ =
()
(
)
=ξ+ξ−=ξ−
∑∑
==
n
i
iii
n
i
ii
pMMxxpMx
1
2
2
1
2
2
=
=ξ+ξ⋅ξ−ξ=ξ+ξ−
∑∑∑
===
2
1
2
1
2
1
2
22 MMMMpMpxMpx
n
i
n
i
iii
n
i
ii
= Mξ
2
– M
2
ξ
Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности мате-
матического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её
математического ожидания.
Пример.
Найти дисперсию случайной величины, заданной законом
распределения
ξ
1 0
Р p q
Выше было показано, что Mξ = р. Легко видеть, что Mξ
2
= р. Таким образом,
получается, что Dξ = р – р
2
= pq. 
Составим закон распределения случайной величины ξ – Mξ

                            ξ– Mξ
                            −7    −1      5
                               6     6    6
                   Р          1     1     1
                              6     2     3
а затем закон распределения случайной величины (ξ – Mξ)2
                  (ξ– Mξ)2   1     25    49
                             36    36    36
                  Р          1     1     1
                             2     3     6
Теперь можно рассчитать величину Dξ :

                                     1 1 25 1 49 1 17
                            Dξ =       ⋅ +  ⋅ +  ⋅ =
                                     36 2 36 3 36 6 36

Используя определение дисперсии, для дискретной случайной величины
формулу вычисления дисперсии можно представить в таком виде:
                                                n
                                               ∑ (xi − Mξ )
                                                                   2
                                     Dξ =                              pi
                                               i =1


Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:

                                                               (                   )
                        n                              n
                       ∑ (xi − Mξ )           pi = ∑ xi 2 − 2 xi Mξ + M 2 ξ pi =
                                          2
                Dξ =
                       i =1                           i =1

          n                    n                           n
         ∑ xi pi − 2Mξ ∑ xi pi + M 2ξ∑ pi = Mξ 2 − 2Mξ ⋅ Mξ + M 2 ξ =
             2
     =
         i =1                 i =1                     i =1

                                              = Mξ2 – M2ξ

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности мате-
матического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её
математического ожидания.

Пример.
     Найти дисперсию                          случайной                величины,       заданной   законом
распределения
                                      ξ                    1                0
                                      Р                    p                q
Выше было показано, что Mξ = р. Легко видеть, что Mξ2 = р. Таким образом,
получается, что Dξ = р – р2 = pq.

Страницы