Высшая математика. Семёнова Т.В. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

M(
∑
=
ξ
n
i
i
1
) =
∑
=
ξ
n
i
i
M
1
= np
Теорема.
Если случайные величины ξ и η независимы, то
М(ξη) = Мξ⋅Мη
Доказательство.
Если заданы законы распределения двух независимых случайных
величин ξ и η
ξ
х
1
…
x
i
…
x
n
η
y
1
…
y
j
…
y
k
Р
1
1
p
…
1
i
p
…
1
n
p
Р
2
1
p
…
2
j
p
…
2
k
p
то математическое ожидание произведения этих случайных величин можно
представить следующим образом:
М(ξη) =
∑∑
==
n
i
k
j
jiji
ppyх
11
21
=
= х
1
1
1
p
∑
=
k
j
j
j
py
1
2
+х
2
1
2
p
∑
=
k
j
j
j
py
1
2
+…+ х
i
1
i
p
∑
=
k
j
j
j
py
1
2
…+ х
n
1
n
p
∑
=
k
j
j
j
py
1
2
=
= х
1
1
1
p
Mη + х
2
1
2
p
Mη + …+ х
i
1
i
p
Mη…+ х
n
1
n
p
Mη = Mη
∑
=
n
i
ii
px
1
= Мξ⋅Мη
Дисперсия случайной величины.
Дисперсия Dξ случайной величины ξ определяется формулой
Dξ = M(ξ – Mξ)
2
Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Рассмотрим случайную величину ξ с законом распределения
ξ
1 2 3
Р
6
1
2
1
3
1
Вычислим её математическое ожидание.
Mξ = 1⋅
6
1
+ 2⋅
2
1
+ 3⋅
3
1
=
6
13
                                                    n                   n
                                           M( ∑ ξi ) =              ∑ Mξi = np
                                                   i =1             i =1


Теорема.
Если случайные величины ξ и η независимы, то

                                                    М(ξη) = Мξ⋅Мη

Доказательство.

     Если заданы законы распределения двух независимых случайных
величин ξ и η
  ξ     х1    … xi   … xn          η    y1   … yj     … yk

  Р            p11         …       p1i         …          p1n                    Р              p12     …        p2j    …         pk2

то математическое ожидание произведения этих случайных величин можно
представить следующим образом:
                                                                n   k
                                          М(ξη) =           ∑ ∑ хi y j pi1 p 2j             =
                                                            i =1 j =1

               k                           k                                     k                                k
                                      1
 =    х1 p11   ∑      y j p 2j   +х2 p2   ∑      y j p 2j   +…+         хi p1i   ∑      y j p 2j   …+   хn p1n   ∑ y j p 2j   =
               j =1                       j =1                                   j =1                            j =1

                                                                                                         n
                            1
 =   х1 p11 Mη        + х2 p2 Mη + …+ хi p1i Mη…+ хn p1n Mη = Mη ∑ xi pi = Мξ⋅Мη
                                                                                                        i =1

Дисперсия случайной величины.
        Дисперсия Dξ случайной величины ξ определяется формулой

                                                   Dξ = M(ξ – Mξ)2

Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от её математического ожидания.

        Рассмотрим случайную величину ξ с законом распределения
                   ξ      1     2     3
                   Р      1     1     1
                          6     2     3
        Вычислим её математическое ожидание.

                                         Mξ = 1⋅ 1 + 2⋅ 1 + 3⋅ 1 = 13
                                                 6      2      3    6

Страницы