Высшая математика. Семёнова Т.В. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Выведем формулу для математического ожидания суммы двух
случайных величин ξ и η, определённых на одном и том же пространстве
элементарных исходов и заданных законами распределения
ξ
х
1
…
x
n
η
y
1
…
y
k
Р
1
1
p
…
1
n
p
Р
2
1
p
…
2
k
p
М(ξ + η) = (х
1
+ у
1
)Р((ξ = х
1
) ∩ (η = у
1
))+ (х
2
+ у
1
)Р((ξ = х
2
) ∩ (η = у
1
)) +…
+(х
i
+ у
j
)Р((ξ = х
i
) ∩ (η = у
j
)) + … + (х
n
+ у
k
)Р((ξ = х
n
) ∩ (η = у
k
))
Очевидно, что сумма в правой части последней формулы содержит nk
слагаемых. Преобразуем эту сумму следующим образом:
М(ξ + η) =
х
1
Р((ξ=х
1
)∩(η=у
1
)) + х
1
Р((ξ=х
1
)∩(η=у
2
)) +…+х
1
Р((ξ=х
1
)∩(η=у
k
)) +
+ х
2
Р((ξ=х
2
)∩(η=у
1
)) + х
2
Р((ξ=х
2
)∩(η=у
2
)) +… + х
2
Р((ξ=х
2
)∩(η=у
k
)) + …
+ х
n
Р((ξ=х
n
)∩(η=у
1
)) + х
n
Р((ξ=х
n
)∩(η=у
2
)) +… + х
n
Р((ξ=х
n
)∩(η=у
k
)) +
+ у
1
Р((ξ=х
1
)∩(η=у
1
)) + у
1
Р((ξ=х
2
)∩(η=у
1
)) +… + у
1
Р((ξ=х
n
)∩(η=у
1
)) +
+ у
2
Р((ξ=х
1
)∩(η=у
2
)) + у
2
Р((ξ=х
2
)∩(η=у
2
)) +… + у
2
Р((ξ=х
n
)∩(η=у
2
)) + …
+ у
k
Р((ξ=х
1
)∩(η=у
k
)) + у
k
Р((ξ=х
2
)∩(η=у
k
)) +… + у
k
Р((ξ=х
n
)∩(η=у
k
)) =
= х
1
(Р((ξ=х
1
)∩(η=у
1
)) + Р((ξ=х
1
)∩(η=у
2
)) +… + Р((ξ=х
1
)∩(η=у
k
))) +
+ х
2
(Р((ξ=х
2
)∩(η=у
1
)) + Р((ξ=х
2
)∩(η=у
2
)) +… + Р((ξ=х
2
)∩(η=у
k
))) +… +
+ х
n
(Р((ξ=х
n
)∩(η=у
1
)) + Р((ξ=х
n
)∩(η=у
2
)) +… + Р((ξ=х
n
)∩(η=у
k
))) +
+ у
1
(Р((ξ=х
1
)∩(η=у
1
)) + Р((ξ=х
2
)∩(η=у
1
)) +… + Р((ξ=х
n
)∩(η=у
1
))) +
+ у
2
(Р((ξ=х
1
)∩(η=у
2
)) + Р((ξ=х
2
)∩(η=у
2
)) +… + Р((ξ=х
n
)∩(η=у
2
))) + …
+ у
k
(Р((ξ=х
1
)∩(η=у
k
)) + Р((ξ=х
2
)∩(η=у
k
)) +… + Р((ξ=х
n
)∩(η=у
k
))) =
= х
1
Р(ξ=х
1
) + х
2
Р(ξ=х
2
) +…+ х
n
Р(ξ=х
n
) +
+ у
1
Р(η=у
1
) + у
2
Р(η=у
2
) +…+ у
1
Р(η=у
1
) = Mξ + Mη
При выводе этой формулы использован очевидный факт, что, например,
событие ξ=х
1
можно представить в виде объединения несовместных событий
(ξ=х
1
)∩(η=у
1
), (ξ=х
1
)∩(η=у
2
), …, (ξ=х
1
)∩(η=у
n
).
Пример.
Заданы n одинаково распределённых случайных величин ξ
1
, ξ
2
, …, ξ
n
с
законом распределения
ξ
i
1 0
P p q
Найти математическое ожидание суммы этих случайных величин.
Решение. 
     Выведем формулу для математического ожидания суммы двух
случайных величин ξ и η, определённых на одном и том же пространстве
элементарных исходов и заданных законами распределения
       ξ         х1        …      xn            η       y1     …    yk
       Р          p11      …       p1n          Р        p12   …     pk2
М(ξ + η)     =          (х1 + у1)Р((ξ = х1) ∩ (η = у1))+ (х2 + у1)Р((ξ = х2) ∩ (η = у1)) +…
+(хi + уj)Р((ξ = хi) ∩ (η = уj)) + … + (хn + уk)Р((ξ = хn) ∩ (η = уk))
Очевидно, что сумма в правой части последней формулы содержит nk
слагаемых. Преобразуем эту сумму следующим образом:
М(ξ + η) =
х1 Р((ξ=х1)∩(η=у1)) + х1 Р((ξ=х1)∩(η=у2)) +…+х1 Р((ξ=х1)∩(η=уk)) +
+ х2Р((ξ=х2)∩(η=у1)) + х2Р((ξ=х2)∩(η=у2)) +… + х2Р((ξ=х2)∩(η=уk)) + …
+ хnР((ξ=хn)∩(η=у1)) + хnР((ξ=хn)∩(η=у2)) +… + хnР((ξ=хn)∩(η=уk)) +
+ у1Р((ξ=х1)∩(η=у1)) + у1Р((ξ=х2)∩(η=у1)) +… + у1Р((ξ=хn)∩(η=у1)) +
+ у2Р((ξ=х1)∩(η=у2)) + у2Р((ξ=х2)∩(η=у2)) +… + у2Р((ξ=хn)∩(η=у2)) + …
+ уkР((ξ=х1)∩(η=уk)) + уkР((ξ=х2)∩(η=уk)) +… + уkР((ξ=хn)∩(η=уk)) =
= х1(Р((ξ=х1)∩(η=у1)) + Р((ξ=х1)∩(η=у2)) +… + Р((ξ=х1)∩(η=уk))) +
+ х2(Р((ξ=х2)∩(η=у1)) + Р((ξ=х2)∩(η=у2)) +… + Р((ξ=х2)∩(η=уk))) +… +
+ хn(Р((ξ=хn)∩(η=у1)) + Р((ξ=хn)∩(η=у2)) +… + Р((ξ=хn)∩(η=уk))) +
+ у1(Р((ξ=х1)∩(η=у1)) + Р((ξ=х2)∩(η=у1)) +… + Р((ξ=хn)∩(η=у1))) +
+ у2(Р((ξ=х1)∩(η=у2)) + Р((ξ=х2)∩(η=у2)) +… + Р((ξ=хn)∩(η=у2))) + …
+ уk(Р((ξ=х1)∩(η=уk)) + Р((ξ=х2)∩(η=уk)) +… + Р((ξ=хn)∩(η=уk))) =
= х1Р(ξ=х1) + х2Р(ξ=х2) +…+ хn Р(ξ=хn) +
+ у1Р(η=у1) + у2Р(η=у2) +…+ у1Р(η=у1) = Mξ + Mη
При выводе этой формулы использован очевидный факт, что, например,
событие ξ=х1 можно представить в виде объединения несовместных событий
(ξ=х1)∩(η=у1), (ξ=х1)∩(η=у2), …, (ξ=х1)∩(η=уn).
Пример.
Заданы n одинаково распределённых случайных величин ξ1, ξ2, …, ξn с
законом распределения
                      ξi     1      0
                                  P        p        q
Найти математическое ожидание суммы этих случайных величин.
Решение.

Страницы