Высшая математика. Семёнова Т.В. - 96 стр.

     Плотностью распределения может служить любая интегрируемая
функция р(х), удовлетворяющая двум условиям:
         ∞ ≥ 0;
     1) р(х)
     2) ∫ p ( x)dx = 1
Можно − ∞задавать случайную величину, задавая функцию р(х),
удовлетворяющую этим условиям.
     В качестве примера рассмотрим случайную величину ξ, равномерно
распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри
этого промежутка:

                                  ⎧c a ≤ x ≤ b
                          p( x) = ⎨
                                  ⎩0 x < a; x > b

По свойству 2) функции р(х)
               ∞          b
               ∫ p( x)dx = ∫ cdx = c(b − a) = 1
              −∞          a
                                                       p(x)
Отсюда находится с; график изображён на     1
рис.2.                                  c= b-a
       Во многих практических задачах
встречаются случайные величины, у
                                                                              x
которых    возможные    значения  не
ограничены сверху и снизу. В этом
случае     кривая    распределения                 Рис. 2

располагается над осью х и при х → ∞ и х → – ∞ асимптотически
приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того,
что случайная величина ξ примет значение, меньшее некоторого числа а,
равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и
горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что
такая площадь существует.
      Пусть ξ – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая
определяется равенством

                              F ( x ) = P (ξ ≤ x ) ,
называется интегральной функцией распределения или просто функцией
распределения случайной xвеличины ξ. Непосредственно из определения
следует равенство F ( x) = ∫ p (t )dt . Формула производной определённого
интеграла по верхнему пределу   −∞   в данном случае приводит к соотношению
F ′( x) = p ( x ) . Плотность распределения р(х) называют дифференциальной
функцией распределения.