Высшая математика. Семёнова Т.В. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Функция распределения F(x) случайной величины ξ имеет следующие
свойства.
1.
F(x) — непрерывная возрастающая функция.
2.
0)(lim =
−∞→
xF
x
;
1)(lim
=
∞→
xF
x
Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x).
3.
Приращение F(x) на промежутке (х
1
; х
2
) равно вероятности того, что
случайная величина ξ принимает значение из этого промежутка:
F(x
2
) – F(x
1
) = P(x
1
< ξ ≤ x
2
)
Доказательство.
F(x
2
) = P(ξ ≤ x
2
) = P(ξ ≤ x
1
) + P(x
1
< ξ ≤ x
2
) = F(x
1
) + P(x
1
< ξ ≤ x
2
)
Отсюда
P(x
1
< ξ ≤ x
2
) = F(x
2
) – F(x
1
)
Заметим, что для непрерывной случайной величины ξ справедливы
равенства
P(x
1
< ξ ≤ x
2
) = P(x
1
< ξ < x
2
) = P(x
1
≤ ξ < x
2
) = P(x
1
≤ ξ ≤ x
2
)
Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
<<
−
−
=
−
≤
=
∫
bx
bxa
ab
ax
ab
dt
ax
xF
x
a
при1
при
при0
)(
График функции F(x) представлен на рисунке 3.
Закон распределения непрерывной случайной
величины можно определить заданием либо функции
р(х), либо функции F(x).
Правило 3-х σ (трех “сигм”).
Пусть имеется нормально распределённая случайная величина ξ с
математическим ожиданием, равным а и дисперсией σ
2
. Определим веро-
ятность попадания ξ в интервал (а – 3σ; а + 3σ), то есть вероятность того, что
ξ принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не
более, чем на три среднеквадратических отклонения.
P(а – 3σ< ξ < а + 3σ)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)
Рис. 3
x
a
b
1
      Функция распределения F(x) случайной величины ξ имеет следующие
свойства.
1. F(x) — непрерывная возрастающая функция.
2. lim F ( x) = 0 ; lim F ( x) = 1
   x → −∞           x →∞
Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x).
3. Приращение F(x) на промежутке (х1; х2) равно вероятности того, что
   случайная величина ξ принимает значение из этого промежутка:
                      F(x2) – F(x1) = P(x1 < ξ ≤ x2)
Доказательство.
     F(x2) = P(ξ ≤ x2) = P(ξ ≤ x1) + P(x1 < ξ ≤ x2) = F(x1) + P(x1 < ξ ≤ x2)
Отсюда
                           P(x1 < ξ ≤ x2) = F(x2) – F(x1)
     Заметим, что для непрерывной случайной величины ξ справедливы
равенства
     P(x1 < ξ ≤ x2) = P(x1 < ξ < x2) = P(x1 ≤ ξ < x2) = P(x1 ≤ ξ ≤ x2)
      Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:

         ⎧0                 при x ≤ a
         ⎪⎪ dt
            x
                                                            1
                      x−a
F ( x) = ⎨∫         =        при a < x < b
          ⎪a  b − a   b − a
          ⎪⎩1               при x ≥ b
                                                                a              b   x
График функции F(x) представлен на рисунке 3.
       Закон распределения непрерывной случайной Рис. 3
величины можно определить заданием либо функции
р(х), либо функции F(x).


                            Правило 3-х σ (трех “сигм”).
     Пусть имеется нормально распределённая случайная величина ξ с
математическим ожиданием, равным а и дисперсией σ2. Определим веро-
ятность попадания ξ в интервал (а – 3σ; а + 3σ), то есть вероятность того, что
ξ принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не
более, чем на три среднеквадратических отклонения.

P(а – 3σ< ξ < а + 3σ)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)

Страницы