Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7.13 Решение систем после ортогонализации
7.13 Решение систем после ортогонализации
1. Пусть дана сис т ема линейных алгебраических уравнений с квадратной
невырожденной матрицей Ax = f. Тогда после о ртогонального приведе-
ния матрицы с помощью одной из версий ортогонализации Грама–Шмидта
имеем представление этой матрицы в виде A = QR и, следовательно,
QRx = f и Rx = Q
T
f.
2. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений с прямоуголь-
ной матрицей A(m, n), m > n, полного ранга. Такая система называется
переопределенной системой. Нормальное псевдорешение ¯x, найденное по
методу наименьших квадратов (МНК), удовлетворяет нормальным урав-
нениям
A
T
A¯x = A
T
f.
Поскольку A = QR и Q
T
Q = I, эти уравнения эквивалентны уравнению
R¯x = Q
T
f,
которое совпадает по виду с уравнением из п. 1.
Чтобы вычислить x (для п. 1) или ¯x (для п. 2), находят вектор f
0
= Q
T
f,
а зат ем решают систему с треугольной матрицей R (методом подстановки).
7.14 Обращение матриц после ортогонализации
Для матрицы A = A(n, n) имеем A = QR, где Q = Q(n, n). Отсюда
A
−1
= R
−1
Q
−1
= R
−1
Q
T
.
Следовательно, A
−1
есть решение матричного уравнения RX = Q
T
.
Чтобы найти i-й столбец матрицы A
−1
, надо в качес т в е правой части взять
i-й столбец матрицы Q
T
и решить систему с треугольной ма т рицей R (как
в подразд. 7.13 или подробнее в подразд. 7.6).
7.15 Задание на лабораторный проект № 6
Написать и отладить программу, реализующую в а ш вариант орто-
гонального прео б разования для численного решения систем линейных
алгебраических уравнений Ax = f с квадратной матрицей A, вычисления
137

Страницы