Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.5 Отыскание псевдообратной матрицы
4
◦
Находим A
+
такую, что A
+
z = ¯x
0
:
A
+
z
1
z
2
z
3
=
z
1
/µ
1
z
2
/µ
2
0
0
⇒ A
+
=
µ
−1
1
0 0
0 µ
−1
2
0
0 0 0
0 0 0
.
Пример 10.3. (Обобщающий вышеприведенные примеры 10.1 и 10.2.)
Рассмотрим класс матриц вида Σ =
D 0
0 0
= Σ(m, n), где D =
= diag (µ
1
, µ
2
, . . . , µ
r
). Имеем, на основании примеров 10.1 и 10.2, что всегда
Σ
+
=
D
−1
0
0 0
= Σ
+
(n, m).
Теорема 10.9 (О сингулярном разложении матрицы A = A (m, n)).
Для произвольной матрицы A = A(m, n) ранга r существуют две ортого-
нальные матрицы Q
1
= Q
1
(m, m) и Q
2
= Q
2
(n, n) и положительные дей-
ствительные числа µ
1
≥ µ
2
≥ . . . ≥ µ
r
> 0, такие что:
1. Справедливы равенства
A = Q
1
ΣQ
T
2
, Σ =
D 0
0 0
= Σ(m, n), D = diag (µ
1
, µ
2
, . . . , µ
r
),
(10.10)
причем µ
2
i
= λ
i
, где λ
i
— собственные числа матрицы A
T
A.
2. Для псевдообратной матрицы A
+
справедливо выражение
A
+
= Q
2
Σ
+
Q
T
1
, Σ
+
=
D
−1
0
0 0
.
Определение 10.7. Числа µ
i
называются сингулярными числами
матрицы A, и разложение (10.10) называется сингулярным разложением
матрицы A.
Доказательство.
1. Рассмотрим матрицу A
T
A. Она — симметрическая или эрмитова (в
комплексном случае). Если A — вещ ественная, то A
T
A — симметри-
ческая, то есть она совпадает со своей транспонированной матрицей:
(A
T
A)
T
= A
T
A. Если A — комплексная , то A
∗
A — эрмитова, то есть
она совпадает со своей сопряженно-транспонированной: (A
∗
A)
∗
= A
∗
A.
215

Страницы