Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 216 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10 Теоретические основы
Фундаментальное свойство таких матриц заключается в следующем.
Только эрмитовы матрицы обладают одновременно (подробнее см. ниже
стр. 233):
•
вещественными неотрицательными собственными значениями,
•
ортонормированными собственными векторами.
Имеем: матрица A
T
A (n × n) эрмитова.
Обозначим: {x
1
, x
2
, . . . , x
n
} — набор собст в енных векторов в R
n
,
{λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
} — соответствующие собственные значения.
Запишем
A
T
Ax
i
= λ
i
x
i
,
x
T
i
x
j
= 1, i = j
x
T
i
x
j
= 0, i 6= j
, где i, j = 1, 2 , . . . , n.
Умножим скалярно на x
i
:
x
T
i
(A
T
A)x
i
= λ
i
x
T
i
x
i
= λ
i
kx
i
k
2
= λ
i
,
kAx
i
k
2
= λ
i
=⇒ λ
i
≥ 0 .
Пронумеруем λ
i
так, чтобы λ
1
≥ λ
2
≥ . . . ≥ λ
r
> 0 , а остальные λ
i
= 0 ,
i = r + 1, r + 2, . . . , n. Это воз м ожно, так как rank(A
T
A) = rank A = r.
Вычислим µ
i
=
√
λ
i
для i = 1, 2, . . . , r. Заметим, что µ
i
=
√
λ
i
= 0 для
i = r + 1, r + 2, . . . , n. Для µ
i
, i = 1, 2, . . . , r снова запишем:
A
T
Ax
i
= λ
i
x
i
=⇒ x
T
i
(A
T
A)x
i
= λ
i
= µ
2
i
,
x
T
i
A
T
Ax
i
µ
2
i
= 1,
x
T
i
A
T
µ
i
·
Ax
i
µ
i
= 1, Ax
i
6= 0 .
Обозначим y
i
= Ax
i
/µ
i
, i = 1, 2, . . . , r. Тогда
y
T
i
y
j
=
x
T
i
A
T
µ
i
·
Ax
j
µ
j
=
x
T
i
A
T
Ax
j
µ
i
µ
j
=
x
T
i
λ
j
x
j
µ
i
µ
j
=
1, i = j = 1, 2, . . . , r,
0, i 6= j.
Следовательно, {y
1
, y
2
, . . . , y
r
} — ортонормированы в R
m
, так как y
i
∈
∈ R
m
. Все y
i
— линейные комбинации столбцов матрицы A: y
i
∈ R( A).
Они могут быть дополнены в R
m
до полного ортонормированного
базиса:
{y
1
, y
2
, . . . , y
r
, y
r+1
, . . . , y
m
}.
Таким образом, имеем:
•
в R
m
— ортонормированный базис из векторов {y
1
, y
2
, . . . , y
m
},
216

Страницы