Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 217 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.5 Отыскание псевдообратной матрицы
•
в R
n
— ортонормированную с ис т ему векторов {x
1
, x
2
, . . . , x
n
}.
Соберем эти векторы в две матрицы:
Q
1
= [y
1
, y
2
, . . . , y
m
], Q
2
= [x
1
, x
2
, . . . , x
n
].
a) Имеем для i = 1, 2, . . . , r:
y
i
µ
i
= Ax
i
, µ
i
> 0, Ax
i
6= 0. (10.11)
б) Имеем для i = r + 1, r + 2, . . . , m:
kAx
i
k
2
= λ
i
= 0 =⇒ Ax
i
= 0.
Поэтому в записи
y
i
µ
i
= Ax
i
следует считать µ
i
= 0, i = r +1, r +2, . . . , m. (10.12)
Это означает, что (10.11) и (10.12) равносильны за писи:
[y
1
, y
2
, . . . , y
m
]
|
{z }
Q
1
D 0
0 0
|
{z }
Σ
= A [x
1
, x
2
, . . . , x
n
]
|
{z }
Q
2
где D = diag (µ
1
, µ
2
, . . . , µ
r
), то есть
Q
1
Σ = AQ
2
, или Q
1
ΣQ
T
2
= A , или Σ = Q
T
1
AQ
2
.
Утверждение 1 теоремы доказано.
2. Умножение на ортогональную матрицу не изменяет евклидовой нормы
вектора, поэтому имеем цепочку равенств:
kAx−bk
2
= kQ
1
ΣQ
T
2
x−bk
2
= kΣQ
T
2
x−Q
T
1
bk
2
= kΣy−Q
T
1
bk
2
= kΣy−ck
2
.
Введем новый ве ктор
y = Q
T
2
x = Q
−1
2
x.
Для него kyk = kxk, так как Q
T
2
— ортогональная матрица.
Из приведенной цепочки равенств получаем следующий вывод: отыска-
ние нормального псевдореш ения сис т емы Ax = b эквивалентно отыска-
нию нормального псевдорешения системы Σy = c, где c = Q
T
1
b. Имеем
эти нормальные псевдорешения: ¯y
0
и ¯x
0
. Они равны:
¯y
0
= Σ
+
c,
¯x
0
= A
+
b.
217

Страницы