Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 220 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10 Теоретические основы
В варианте 2
A
+
= Q
2
Σ
+
Q
T
1
=
1
1/5 0
3/5 4/5
4/5 −3 /5
=
3/25 4/25
.
Здесь также имеем
A
+
A =
3/25 4/25
3
4
=
1
= I.
Это произошло в с илу того, что rank A = r = n = 1. Как мы знаем, в э т о м
случае
A
+
= (A
T
A)
−1
A
T
=
25
−1
3 4
=
3/25 4/25
.
Вывод из примера 10.4. Пользоваться сингулярным разложением
A = Q
1
ΣQ
T
2
, чтобы находить A
+
, непросто. Для этого нужно:
1. Найти собственные векторы x
1
, x
2
, . . . , x
n
матрицы A
T
A.
Тогда Q
2
=
x
1
x
2
. . .
x
n
.
2. Найти собственные значения матрицы A
T
A: λ
1
> λ
2
> . . . > λ
n
≥ 0.
3. Оценить ранг r матрицы A, т. е. разграничить {λ
1
> λ
2
> . . . >
> λ
r
> 0} и {λ
r+1
= λ
r+2
= . . . = λ
n
= 0} и образовать µ
i
=
√
λ
i
,
D = diag (µ
1
, µ
2
, . . . , µ
r
).
4. Найти y
i
= Ax
i
/µ
i
, где µ
i
=
√
λ
i
, i = 1, 2, . . . , r.
5. Доопределить каким-либо образом систему {y
i
} до ортонормирован-
ного базиса в R
m
.
6. Образовать Q
1
=
y
1
y
2
. . .
y
m
.
В качестве альтернативного ре шения для нахождения A
+
рассмотрим на
следующем примере так наз ываемое «усеченное»
¯
L
¯
U-разложение матрицы.
Пример 10.5. Дана матрица [13]
A =
1 2
2 5
3 7
, rank A = 2 = n.
Выполним полное LU-разложение и затем «усеченное»
¯
L
¯
U-разложение:
A =
1 2
2 5
3 7
=
1
2 1
3 1 1
| {z }
L
1 2
0 1
0 0
| {z }
U
=
1
2 1
3 1
| {z }
¯
L
1 2
0 1
|
{z }
¯
U
=
¯
L
¯
U ,
220

Страницы