Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 221 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.5 Отыскание псевдообратной матрицы
rank
¯
L = rank
¯
U = rank A = 2.
В общем случае: пусть rank A = r, A = LU, тогда:
1. L — всегда квадратная с единичной диагональю, т. е. L = L(m, m) и
det L = 1,
2. U — имеет (m − r) нулевых нижних строк.
Отбросим последние (m −r) строк в U и последние (m −r) столбцов в L (в
этом и заключается переход к «усеченному» разложению), тогда получим:
A =
¯
L
¯
U,
¯
L =
¯
L(m, r),
¯
U =
¯
U(r, n),
rank
¯
L = r = rank U = rank A.
Свойства
¯
L и
¯
U (так как A =
¯
L
¯
U и rank A = rank
¯
L = r):
1
◦
¯
U: R(
¯
U
T
) = R(A
T
) — совпадение пространств строк,
2
◦
¯
L: R(
¯
L) = R(A) — совпадение пространств столбцов.
Теорема 10.10 ( [13]).
A
+
=
¯
U
T
(
¯
U
¯
U
T
)
−1
(
¯
L
T
¯
L)
−1
¯
L
T
.
Доказательство. Пусть b — произвольный вектор в R
m
. Рассмотрим
вектор
y = [
¯
U
T
(
¯
U
¯
U
T
)
−1
(
¯
L
T
¯
L)
−1
¯
L
T
] b .
Вектор y ∈ R(U
T
) = R(A
T
) . Умножим y слева на A =
¯
L
¯
U:
Ay =
¯
L
¯
U
¯
U
T
(
¯
U
¯
U
T
)
−1
(
¯
L
T
¯
L)
−1
¯
L
T
b =
¯
L(
¯
L
T
¯
L)
−1
¯
L
T
b .
По определению,
¯
L(
¯
L
T
¯
L)
−1
¯
L
T
, есть матрица проектирования на R(
¯
L), т. е.
на R(A), поэтому
A
¯
U
T
(
¯
U
¯
U
T
)
−1
(
¯
L
T
¯
L)
−1
¯
L
T
b = p ,
где p — проекция b на R(A) .
Таким образом, вектор y удовлетворяет следующим условиям:
1. y ∈ (A
T
) .
2. Ay = p, где p — проекция любого в ектора b на R(A) .
221

Страницы