Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 223 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.6 Основные теоремы по МНК и псевдоинверсии
10.6 Основные теоремы по МНК и псевдоинверсии
Теорема 10.11 ( [1]). Пусть z ∈ R
m
и A = A(m, n) . Тогда:
(1) найдется ¯x
0
∈ R
n
единственный, если это вектор с минимальной нор-
мой, минимизирующий kz − Axk
2
,
(2) вектор ¯x
0
является единственным вектором из R(A
T
), удовлетворяю-
щим уравнению A¯x = ˆz, где ˆz = p — проекция вектора z на R(A) .
Теорема 10.12 ( [1]). Среди всех векторов ¯x, минимизирующих
kz−Axk
2
, вектор ¯x
0
, име ющий минимальную норму, является единственным
вектором вида
¯x
0
= A
T
y,
удовлетворяющим уравнению
A
T
A¯x
0
= A
T
z.
Иными словам и, вектор ¯x
0
может быть получен с помощью любого век-
тора y
0
, удовлетворяющего уравнению
A
T
AA
T
y = A
T
z,
по формуле ¯x
0
= A
T
y.
Теорема 10.13 ( [1]). Для всякой ма т рицы A = A(m, n) существует
псевдообратная матрица A
+
= A
+
(n, m), такая что для произвольного век-
тора z ∈ R
m
¯x
0
= A
+
z
является вектором с минимальной нормой среди всех векторов ¯x, миними-
зирующих kz − Axk
2
.
Теорема 10.14 ( [1]). Для любой мат рицы A = A( m, n) псевдообрат-
ная матрица A
+
обладает свойства м и:
(1) A
+
= (A
T
A)
+
A
T
,
(2) (A
T
)
+
= (A
+
)
T
,
(3) A
+
= A
T
(AA
T
)
+
,
(4) (A
+
)
+
= A,
(5) (A
T
A)
+
= A
+
(A
T
)
+
,
(6) (AA
T
)
+
= (A
T
)
+
A
+
,
(7) AA
+
A = A ,
(8) A
+
AA
+
= A
+
,
(9) AA
+
= (AA
+
)
T
,
(10) A
+
A = (A
+
A)
T
.
223

Страницы