Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 225 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.7 Вычисление матриц проектирования
10.7 Вычисление матриц проектирования
Дана матрица A. Возьмем B = A
T
. Имеем
R(A
T
) — пространство строк матрицы A,
R(A
T
)
R(B)
— пространство столбцов матрицы A
T
.
Определение 10.8. Матрица проектирования P на R(B) есть такая
матрица, которая обладает сво йс т о м :
(b − Pb) ⊥R(B),
где P b =
ˆ
b — прое кция вектора b на R(B), (b −P b) =
˜
b — перпендикуляр к
R(B).
Запишем
˜
b = b − P b = (I − P )b,
где I − P — матрица проектирования на R
⊥
(B) = N(B
T
) = N(A).
Из определения псевдообратной ма т рицы (см. определение 10.5) следует,
что матрица проектирования P вектора b на R(A) в общем случае такова:
P b = p, P b = A¯x
0
= AA
+
b =⇒ P = AA
+
.
Если взять B = A
T
и проектировать вектор b на R(B), то мы должны
взять матрицу проектирования в виде P = BB
+
. Но B
+
= (A
T
)
+
= (A
+
)
T
,
следовательно P = A
T
(A
+
)
T
.
Если A = A(m, n), то P имеет размеры: (n ×m)(n ×m)
T
= (n ×n). Если
B = B(n, m), то B
+
= B
+
(m, n), тогда P имеет размеры: (n ×m)(m ×n) =
= (n × n).
Выводы:
1. Если ищут матрицу вида P = I −A
T
(AA
T
)
−1
A, то это есть матрица
проектирования любого вектора на ядро, т. е . на нуль-прос транство
N(A) матрицы A. Но в таком виде ее можно определить, только
если (AA
T
)
−1
существует, т. е. если ra nk A = m (A име ет полный
строчный ранг).
2. Если rank A = r < m, что возможно иногда при m ≤ n, то (AA
T
)
−1
не существует. В этом случае для этой же матрицы P справедливо
225

Страницы