Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10 Теоретические основы
наиболее общее выражение, а именно: P = I − A
T
(A
+
)
T
, где также
можно иметь в виду, что всегда (A
+
)
T
= (A
T
)
+
. Э то означает, чт о
нужно уметь отыскивать A
+
. Для этого есть различные, не очень
простые, вычислительные методы (см. книгу [1], а также книгу [13]).
Пример 10.9. Определение проектора P
A
= AA
+
. Да но:
A = A
1
=
1 −1 0 1
2 −2 −1 3
−1 1 −2 1
= A(n, m) = A(3, 4),
n = 3, m = 4, r = rank(A) = 2 < n = 3.
Делаем LU-разложение:
A =
1
2 1
−1 2 1
|
{z }
L
1 −1 0 1
0 0 −1 1
0 0 0 0
.
|
{z }
U
Находим усе ченное LU-разложение:
A =
¯
L
¯
U =
1
2 1
−1 2
|
{z }
¯
L
1 −1 0 1
0 0 −1 1
.
|
{z }
¯
U
Отсюда следует:
A
+
=
¯
U
+
¯
L
+
=
¯
U
T
(
¯
U
¯
U
T
)
−1
|
{z }
¯
U
+
(
¯
L
T
¯
L)
−1
¯
L
T
|
{z }
¯
L
+
=
1
150
10 14 −22
−10 −14 22
5 −8 −41
5 22 19
.
Найдем матрицы проектирования как на пространство строк матрицы A,
т. е. на R(A
T
), так и на пространство столбцов матрицы A, т. е. на R(A).
1. Матрица проектирования на R(A
T
):
P
A
= A
T
(A
+
)
T
=
1 2 −1
−1 −2 1
0 −1 −2
1 3 1
1
150
10 −10 5 5
14 −14 −8 22
−22 22 −41 19
=
226

Страницы