Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 224 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10 Теоретические основы
Основное правило обращения произведения матриц, (BA)
−1
= A
−1
B
−1
, не
выполняется для псевдообратных матриц, то есть
(BA)
+
6= A
+
B
+
.
Теорема 10.15 ( [1]). Для любой симметрической матрицы A =
= A(n, n) с действительными элементами предельная матрица
P
A
= lim
δ→0
(A + δI)
−1
A = lim
δ→0
A(A + δI)
−1
существует. Она является матрицей проектирования на R(A) = R(A
T
). Это
означает, что для любого в ектора z ∈ R
n
вектор
ˆz = P
A
z
является проекцией z на R(A) = R(A
T
) — на пространство строк или столб-
цов данной симметрической матрицы.
Теорема 10.16 ( [1]).
(1) Для произвольных z ∈ R
m
и A = A(m, n) вектор ¯x минимизирует кри-
терий kz − Axk
2
тогда и только тогда, когда ¯x имеет вид:
¯x = A
+
z + (I −A
+
A)y
для некоторого y ∈ R
n
.
(2) Вектор ¯x, минимизирующий kz − Axk
2
, является единственным тогда
и только тогда, когда A
+
A = I. Последнее условие выполняется тогда
и только тогда, когда только нулевой ве ктор составляет ядро (нуль-
пространство) матрицы A, т. е. при r = n.
(3) Уравнение Ax = z имеет решение тогда и т о лько тогда, когда A
+
Az =
= z. Это в ыполняет ся в том и только том случае, когда z ∈ R(A).
Вектор x является решением уравнения Ax = z тогда и только тогда,
когда он задается в виде
x = A
+
z + (I −A
+
A)y
для произвольного y ∈ R
n
. Это решение единственно (и тогда оно равно
A
+
z), если и то лько если
AA
+
z = z и A
+
A = I.
224

Страницы