Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 222 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10 Теоретические основы
3. y =
¯
U
T
(
¯
U
¯
U
T
)
−1
(
¯
L
T
¯
L)
−1
¯
L
T
b .
Отсюда
¯
U
T
(
¯
U
¯
U
T
)
−1
(
¯
L
T
¯
L)
−1
¯
L
T
= A
+
. 2
Приведем заключительные примеры для лучшего понимания структуры
и свойств псевдообратной матрицы A
+
.
Пример 10.6. Если A = A(1, 1), то
A
+
=
0, ес ли A = 0,
1/A, если A 6= 0.
Пример 10.7. Если A = diag (λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
), то
A
+
= diag (λ
+
1
, λ
+
2
, . . . , λ
+
n
), где λ
+
j
=
0, если λ
j
= 0,
1/λ
j
, если λ
j
6= 0.
Пример 10.8. Матрицы
A
1
=
4 0
0 0
и A
2
=
4 0
0 10
−10
почти одинаковы. Однако, их псевдообратные матрицы
A
+
1
=
1/4 0
0 0
и A
+
2
=
1/4 0
0 10
10
сильно отличаются.
Эти примеры, имеющие обще е объяснение в теоре м е о с ингуля рном раз-
ложении, говорят о том, что операция псевдообращения — разрывная. Дей-
ствительно, функция
λ
+
=
1/λ, если λ 6= 0 ,
0, ес ли λ = 0
имеет разрыв в точке λ = 0.
Отсутствие непрерывности операции псевдообращения приводит к серьез-
ным вычислительным трудностям и, возможно, к большим вычислительным
ошибкам при решении задачи МНК, особенно, если r < n или r < m.
К счастью, на практике задача МНК обычно возникает при m > n = r,
т. е. с матрицами A = A(m, n ) максимального ст о лбцового ранга для пере-
определенных систем Ax = z. В этом случае A
+
= (A
T
A)
−1
A
T
и МНК-
решение ¯x единственно и равно ¯x
0
.
222

Страницы