Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 231 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.8 Рекурсия в задаче МНК
10.8 Рекурсия в задаче МНК
Постановка вопроса. Даны матрица A = A(m, n) и вектор z ∈ R
m
.
Требуется найти единственный вектор ¯x
0
с минимальной нормой, м иними-
зирующий kz −Axk
2
.
Можно ли искать его последовательно?
1
◦
Известно, что A¯x
0
= ˆz, где ˆz ∈ R(A), z − ˆz ⊥ R(A), ¯x
0
∈ R(A
T
).
Нормальное псевдореше ние ¯x
0
несовместной системы Ax = z удовле-
творяет равенству
¯x
0
= A
+
z ,
где A
+
— псевдообратная матрица.
2
◦
Произвольно расщепим мат рицу A на блоки, A =
A
1
A
2
и, соответ-
ственно, вектор z на подвекторы, z =
z
1
z
2
, так чтобы A
1
= A
1
(k, n),
A
2
= A
2
(s, n), k + s = m, z
1
∈ R
k
, z
2
∈ R
s
.
3
◦
На первом шаге найдем нормальное псевдорешение только первой сис-
темы Ax
1
= z
1
. Оно равно ˜x
0
= A
+
1
z
1
. Проекция вектора z
1
на R(A
1
):
ˆz
1
= A
1
˜x
0
= (A
1
A
+
1
)z
1
.
4
◦
Рассмотрим систему
A
1
A
2
x =
ˆz
1
z
2
, (10.13)
которая отличается от исходной системы
A
1
A
2
x =
z
1
z
2
(10.14)
тем, что вместо z
1
используется ˆz
1
. Для нее нормальное псевдореш ение
обозначим ˆx
0
. Оно равно
ˆx
0
=
A
1
A
2
+
ˆz
1
z
2
.
Вопрос: верно ли равенство ˆx
0
= ¯x
0
? Напомним, что
¯x
0
=
A
1
A
2
+
z
1
z
2
.
231

Страницы