Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 233 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.9 Основные свойства симметрических / эрмитовых матриц
10.9 Основные свойства симметрических / эрмитовых
матриц
Свойства симметрических матриц, A = A
T
, в теории МНК служат осно-
вой многих результатов. В алгебре эти свойства обо б щены на случай эрми-
товых матриц, т. е. матриц A, в которых понятие симметричности в отно-
шении комплекснозначных элементов расширено добавлением требования
комплексной сопряженности a
ij
= ¯a
ji
, что выражается записью A = A
∗
, где
A
∗
— сопряженно транспонированная матрица к A.
Напомним некоторые определения, а затем приведем четыре основные
свойства эрмитовых матриц.
Определение 10.9. Число λ называется собственным значением
(n×n)-матрицы A с соответствующим собственным вектором x, если Ax =
= λx, т. е. λ есть любой из n корней уравнения
det(A − λI) = 0.
Это — характерист ичес кое уравнение для матрицы A.
Определение 10.10. Ортогональной матрицей называется квадрат-
ная вещественная мат рица Q, столбцы которой ортонормированы, то е сть
выполнено условие Q
T
Q = I.
Упражнение 10. 1. Матрица Q
T
ортогональна тогда и только тогда,
когда ортогональна матрица Q.
Определение 10.11. Унитарной матрицей называется квадратная
матрица U, сто лбцы которой ортонормированы с добав лением требования
комплексной сопряженности элементов столбцов: U
∗
U = I.
Упражнение 10.2. Матрица U
∗
унитарна тогда и только тогда, когда
унитарна матрица U.
Теорема 10.17. Если A = A
∗
, то для всех комплексных векторов x
число x
∗
Ax вещественно.
Доказательство. Вычислите (x
∗
Ax)
∗
как эрмитову (1 × 1)-матрицу и
примите во внимание, что в любой эрмитовой матрице диагональные эле-
менты должны быть ве щественными.
Теорема 10.18. Каждое собственное значение эрмитовой матрицы
вещественно.
233

Страницы