Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 235 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.9 Основные свойства симметрических / эрмитовых матриц
кратных), то T = U, где U = [ u
1
| u
2
| . . . | u
n
] — матрица, составленная
из соответствующих собственных векторов матрицы A. В этом случае спек-
тральное разложение матрицы A имеет вид
A = UΛU
∗
= λ
1
u
1
u
∗
1
+ λ
2
u
2
u
∗
2
+ . . . + λ
n
u
n
u
∗
n
.
При наличии кратных собственных значений любая эрмитова матрица A
по-прежнему имеет полный набор ортонормированных собственных векто-
ров и, следовате льно, может быть диагонализирована с помощью некоторой
унитарной матрицы T , т. е. (10.17 ) справедливо в общем случае. Каждая
эрмитова матрица с k различными собственными значениями имеет свое
«спектральное разложение»
A = T ΛT
∗
= λ
1
P
1
+ λ
2
P
2
+ . . . + λ
k
P
k
,
где P
i
есть проекция матрицы A на собственное подпространство, соответ-
ствующее значению λ
i
.
Доказательство. Полное доказательство можно найти в [13] или [23].
Это очень важный результат, имеющий и «обратную» формулировку:
только эрмитовы ма т рицы обладают одновременно и вещественными соб-
ственными значениями, и ортонормированными собст венными векторами.
Если T
−1
AT равняется не которой вещес т в енной диагональной матрице Λ и
матрица T унитарна, T
−1
= T
∗
, то матрица A обязательно является э рмито-
вой: A
∗
= (T ΛT
∗
)
∗
= T ΛT
∗
= A. Теорема 10.20 имеет множество примене-
ний при обработке экспериментальных данных, — не только в регре ссион-
ном анализе, но также в области так называемого многомерного анализа.
Интересны примеры, когда по э кспериментальной корреляционной матрице
R нужно провести анализ основных компонент и факторный анализ [13]. Для
специалистов-прикладников эти примеры очень поучительны. Они показы-
вают, как два специалиста, вводя различное число p факторов и диагональ-
ную компоненту D в разложении R = F F
T
+D, а также любую ортого наль-
ную (p × p)-матрицу Q в представлении
˜
F = F Q, могут получать сове р-
шенно различные интерпретации F и
˜
F (матрицы факторных коэффициен-
тов) одних и т ех же экспериме нтальных данных. Мы эти частные вопросы
не рассматриваем и за деталями отсылаем к [13] и специальной литературе
по ф а кторному анализу. Когда A = A
T
, (10.17) принимает следующий вид:
T
T
AT = Λ, A = T ΛT
T
.
235

Страницы