Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 234 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10 Теоретические основы
Доказательство. Умножьте Ax = λx слева на x
∗
и ис пользуйте преды-
дущую теорему 10.17 .
Теорема 10.19 ( [13]). Собственные векторы эрмитовой матрицы,
отвечающие различным собств енным значениям, взаимно ортогональны.
Доказательство. Пусть λ 6= µ и Ax = λx, Ay = µy. Возьмем (1 × n)-
матрицу x
∗
A
∗
=
¯
λx
∗
, сопряженно транспонированную к Ax = λx, заменим
A
∗
= A и учтем, что λ =
¯
λ (по теореме 10.18), т. е. запишем x
∗
A = λx
∗
.
Умножая это раве нство справа на y, а равенство Ay = µy слева на x
∗
, полу-
чим
x
∗
Ay = λx
∗
y, x
∗
Ay = µx
∗
y.
Следовательно, λx
∗
y = µx
∗
y, а так как λ 6= µ, то x
∗
y = 0, т. е. в ектор x
ортогонален к y. 2
Этот результат является основным по своей ва ж ности. Разумеется,
любые кратные собст в енным в екторам x/α и y/β, равным образом оста-
ются собственными векторами. При выборе α = kxk, β = kyk и т. п.
мы имее м возможность нормировать вс е собственные векторы к единичной
длине и, таким образом, далее использовать ортонормированные собств ен-
ные векторы {u
1
, u
2
, . . . , u
n
} эрмитовой матрицы A. Запишем их в виде мат-
рицы U = [ u
1
| u
2
| . . . | u
n
], которая, по определению, является унитарной:
U
∗
U = I. Имеем Au
i
= λ
i
u
i
, по определению собств енных значений λ
i
,
i = 1, 2, . . . , n. Эту систему уравнений перепишем в в иде одного уравнения,
если введем обозначение Λ = diag {λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
}:
AU = UΛ,
что равносильно соотношениям
U
∗
AU = Λ, A = UΛU
∗
.
Тем самым приходим к следующей те ореме о спе ктральном разложении
эрмитовой матрицы.
Теорема 10.20. Если A = A
∗
, то существует диаго нализирующая
матрица T , которая является также и унита рной, T
∗
T = I, такая что
T
∗
AT = Λ, A = T ΛT
∗
, (10.17)
где Λ = diag {λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
} — диагональная матрица, составленная из соб-
ственных значений матрицы A . Если эт и значения простые (среди λ
i
нет
234

Страницы