Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 232 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10 Теоретические основы
Решение вопроса:
Для системы (10.13) запишем нормальные уравнения:
A
T
1
A
T
2
A
1
A
2
x =
A
T
1
A
T
2
ˆz
1
z
2
,
A
T
1
A
1
+ A
T
2
A
2
x = A
T
1
ˆz
1
+ A
T
2
z
2
. (10.15)
Затем для систем ы (10.14) запишем нормальные уравнения:
A
T
1
A
T
2
A
1
A
2
x =
A
T
1
A
T
2
z
1
z
2
,
A
T
1
A
1
+ A
T
2
A
2
x = A
T
1
z
1
+ A
T
2
z
2
. (10.16)
Сравним в правой части A
T
1
ˆz
1
и A
T
1
z
1
. Имеем
A
T
1
ˆz
1
= A
T
1
(A
1
A
+
1
)z
1
.
Более простое доказательство:
A
T
(AA
+
) = A
T
(AA
+
)
T
= (AA
+
A)
T
= A
T
.
Лемма 10.2. Докажем, что
A
T
= A
T
(AA
+
) .
Доказательство. Имеем (см. стр. 220):
A =
¯
L
¯
U, A
T
=
¯
U
T
¯
L
T
, A
+
=
¯
U
+
¯
L
+
, AA
+
=
¯
L
¯
U
¯
U
+
¯
L
+
,
A
T
(AA
+
) =
¯
U
T
¯
L
T
·
¯
L
¯
U ·
¯
U
+
¯
L
+
=
¯
U
T
¯
L
T
= A
T
.
Лемма доказана. Поэтому A
T
1
ˆz
1
= A
T
1
z
1
.
Докажем то же самое другим способом:
A
T
1
(ˆz
1
) = A
T
1
(z − ˜z) = A
T
1
z − A
T
1
˜z, где ˜z ∈ N(A
T
1
), т. е. A
T
1
˜z = 0 .
Поэтому A
T
1
ˆz
1
= A
T
1
z
1
. Таким образом, правые части уравнений (10.15)
и (10.16) совпадают. Поэтому решения уравнений (10.15) и (10.16) оди-
наковы, то есть
ˆx
0
= ¯x
0
.
232

Страницы