Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 254 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11 Оценивание по методу наименьших квадратов
Теперь вы проводите свое наблюдение по схеме (11.38) и получаете кон-
кретный его результат ζ, — реализованное значение случайного вектора z.
Вы хо т ите использовать результат ζ, чтобы выработать наилучшую оценку
ˆx для вектора x. Как для этого скомбинировать априорное знание (
˜
ξ,
˜
P ) с
полученным результатом ζ? Ответ на этот вопрос кроется в апостериорном
распределении, т. е. в плотности f
x|z,˜x
(ξ
ζ,
˜
ξ) распределения вероятностей
неизвестного вектора x при условии, что известны: (1) результат ζ для век-
тора наблюдений z и (2) сообщенное значение
˜
ξ априорного данного вектора
˜x с ковариацией
˜
P , что отражено принятием априорной плотности (11.39).
Если удастся найти эту f
x|z,˜x
(ξ
ζ,
˜
ξ), то по ней можно будет принять ре-
шение, поскольку именно плотность распределения для любой случайной
величины служит наиболе е полной характеристикой.
Найдем f
x|z,˜x
(ξ
ζ,
˜
ξ). П о формуле Ба йе са для условных плотностей
f
x|z,˜x
(ξ
ζ,
˜
ξ) =
f
x,z,˜x
(ξ, ζ,
˜
ξ)
f
z,˜x
(ζ,
˜
ξ)
. (11.40)
Преобразуем (11.40) по известным из те о рии вероя т ностей законам, опус-
кая, для простоты промежуточных записей, аргументы. Получаем
f
x|z,˜x
(ξ
ζ,
˜
ξ) =
f
z|x,˜x
· f
x|˜x
·f
˜x
f
z|˜x
· f
˜x
=
f
z|x,˜x
(ζ
ξ,
˜
ξ)f
x|˜x
(ξ
˜
ξ)
f
z|˜x
(ζ
˜
ξ)
. (11.41)
Здесь плотность f
x|˜x
(ξ
˜
ξ) известна ка к априорная и задана выраже-
нием (11.39). Остается найти другие две. Для их нахождения опираемся
на (11. 3 8 ). Имеем
z = Ax + v
x=ξ
˜x=
˜
ξ
= Aξ + v
˜x=
˜
ξ
= Aξ + v ,
так как v от
˜
ξ не завис ит. Отсюда и из (11.37 ) получаем
f
z|x,˜x
(ζ
ξ,
˜
ξ) =
(2π)
m
|R |
−1/2
exp
−
1
2
(ζ − Aξ)
T
R
−1
(ζ − Aξ)
. (11.42)
Для другой плотности, находящейся в знаменателе (11.41), снова рассмат-
риваем выражение (11.38), но теперь при условии ˜x =
˜
ξ. Найдем совм естную
плотность векторов x и v при этом условии:
f
x,v|˜x
(ξ, ρ
˜
ξ) =
f
x,v,˜x
(ξ, ρ,
˜
ξ)
f
˜x
(
˜
ξ)
=
f
v|x,˜x
(ρ
ξ,
˜
ξ)f
x|˜x
(ξ
˜
ξ)f
˜x
(
˜
ξ)
f
˜x
(
˜
ξ)
= f
v
(ρ)·f
x|˜x
(ξ|
˜
ξ) .
(11.43)
254

Страницы