ВУЗ:
Составители:
11.9 Полная статистическая интерпретация рекурсии в МНК
Последнее равенство получено вследствие принятого свойства ошибок v в
эксперименте (11.38): они не за в исят ни от x, ни от ˜x. В выражении (11.43)
перемножаются две гауссовы плотности: (11.37) и (11.39), поэтому резуль-
тат — тоже гауссова плотность. Ве ктор z, (11.38), образован как взвешен-
ная сумма двух векторов, x и v, совместная плотност ь которых гауссова.
Поэтому плотность в знаменателе (11.41) — гауссова. Ч т о б ы ее записать,
достаточно найти по (11.38) первые два условные момента. Первый момент,
учитывая (11.39), равен
E
n
z
˜x =
˜
ξ
o
= A E
n
x
˜x =
˜
ξ
o
+ 0 = A
˜
ξ,
так как E
n
v
˜x =
˜
ξ
o
= 0. Находим второй момент, используя (11.39) и
(11.37):
E
nh
(z − A
˜
ξ)(z −A
˜
ξ)
T
˜x =
˜
ξ
io
= A
˜
P A
T
+ R, R = I
m
(последнее — в силу нормализации, см. за м ечание 11.4). Теперь имеем воз-
можность записать
f
z|˜x
(ζ
˜
ξ) =
h
(2π)
m
A
˜
P A
T
+ I
m
i
−1/2
exp{·}, (11.44)
где {·} =
n
−
1
2
(ζ −A
˜
ξ)
T
(A
˜
P A
T
+ I
m
)
−1
(ζ − A
˜
ξ)
o
.
Все три плотности для (11.41) найдены: (11.42), (11.39) и (11.44). Под-
ставляя их в (11. 4 1), получаем
f
x|z,˜x
(ξ
ζ,
˜
ξ) =
"
(2π)
n
R
·
˜
P
A
˜
P A
T
+ R
#
−1/2
exp
−
1
2
(α + β − γ)
, (11.45)
α = (ζ − Aξ)
T
R
−1
(ζ − Aξ) ,
β =
ξ −
˜
ξ
T
˜
P
−1
ξ −
˜
ξ
,
γ =
ζ − A
˜
ξ
T
A
˜
P A
T
+ R
−1
ζ − A
˜
ξ
.
(11.46)
Замечание 11.5. Здесь и далее для удобства (прослеживания мест о -
положения матрицы ковариаций ошибки v) вместо I
m
, (11.3 6 ), сохранено
общее обозначение R , как и в (11.37), которое в любой момент можно заме-
нить на I
m
, если будет принято предположение о нормализации наблюдений.
255
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- …
- следующая ›
- последняя »
