Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 257 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11.9 Полная статистическая интерпретация рекурсии в МНК
Теперь после раскрытия скобок в (11.46), приведения подобных членов в
(α + β − γ) и при подстановках (11.48), (11.49) и (11.50) получим
α + β − γ = ξ
T
ˆ
P
−1
ξ − 2ξ
T
c + c
T
ˆ
P c =
ξ −
ˆ
P c
T
ˆ
P
−1
ξ −
ˆ
P c
. (11.52)
Кроме того,
ˆ
P c =
ˆ
P
A
T
R
−1
ζ +
˜
P
−1
˜
ξ
=
=
ˆ
P
A
T
R
−1
ζ +
˜
P
−1
˜
ξ + A
T
R
−1
A
˜
ξ − A
T
R
−1
A
˜
ξ
=
=
ˆ
P
h
˜
P
−1
+ A
T
R
−1
A
˜
ξ + A
T
R
−1
ζ − A
˜
ξ
i
=
=
˜
ξ +
ˆ
P A
T
R
−1
ζ − A
˜
ξ
.
(11.53)
Из (11.48) и (11.5 1 ) видно, что
ˆ
P A
T
R
−1
= K =
˜
P A
T
A
˜
P A
T
+ R
−1
(11.54)
есть матрица Калмана, определенная выражением (11.32 ) (см. п. 11.7).
В свою очередь, величина (11.53), входящая в квадратичную форму (11.52)
плотности распределения (11.45), есть не что иное как среднее значение ве к-
тора x, обусловленное двумя событиями: z = ζ и ˜x =
˜
ξ (первое — результа-
том ζ измерения и в т о рое — результатом
˜
ξ априорной оценки). Обозначим
это условное сре днее как ˆx, тогда (11.53) перепишется в виде:
ˆx =
˜
ξ + K(ζ − A
˜
ξ). (11.55)
Кроме т о го, из (11.52) видно, что матрица
ˆ
P в (11.51) есть ковариация апо-
стериорного распределения (11.45), и по лемме (11.47) она дается выраже-
нием
ˆ
P =
˜
P −
˜
P
A
˜
P A
T
+ R
−1
A
˜
P =
˜
P −KA
˜
P . (11.56)
Сравнивая (11.54), (11.55) и (11.56) с подразд. 11.7, убеждаемся в том, что
исходя из другой — чисто статистической задачи оценивания вектора x по
зашумленным наблюдениям его компонент через мат рицу A (см. рис. 11.4),
мы получаем полное алгебраическое совпадение с рекурсией для МНК в
стандартной ковариационной форме, если при этом принято во внимание,
что z = ζ и ˜x =
˜
ξ, а в качестве искомой наилучшей оценки ˆx для вектора
x мы приняли апостериорное среднее значение (11.55), что с оответствует
критерию максимума апостериорной вероятности (МАВ) (11.40 ), (11.41),
(11.45).
257

Страницы