Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 256 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11 Оценивание по методу наименьших квадратов
Очевидно, (11.45), (11.46) определяют нормальную плотность распреде-
ления, однако, ее явное определение требует двух действий: (1) приведе-
ние суммы трех квадратичных форм (11.46) к одной квадратичной форме
и (2) приведение отношения трех определителей к одному определителю.
Проведем эти преобразования. При первом действии активно используем
лемму 11.1 (см. п. 11.7), беря ее в виде:
˜
P
−1
+ A
T
R
−1
H
−1
=
˜
P −
˜
P A
T
A
˜
P H
T
+ R
−1
A
˜
P (11.47)
с обозначением
˜
Λ =
˜
P
−1
для априорной информационной матрицы. П ере-
пишем (11.47) в нескольких эквивалентных формах. Имеем
˜
P
−1
+ A
T
R
−1
A
−1
A
T
=
˜
P A
T
−
˜
P A
T
A
˜
P A
T
+ R
−1
A
˜
P A
T
=
=
˜
P A
T
A
˜
P A
T
+ R
−1
h
A
˜
P A
T
+ R
− A
˜
P A
T
i
=
˜
P A
T
A
˜
P A
T
+ R
−1
R.
Отсюда
˜
P
−1
˜
P
−1
+ A
T
R
−1
A
−1
A
T
R
−1
= A
T
A
˜
P A
T
+ R
−1
. (11.48)
Умножая (11.47) слева и справа на
˜
P
−1
, получаем
˜
P
−1
˜
P
−1
+ A
T
R
−1
A
−1
˜
P
−1
=
˜
P
−1
− A
T
A
˜
P A
T
+ R
−1
A. (11.49)
Умножая (11.47) слева на A и справа на A
T
и обозначая C = A
˜
P A
T
+ R,
находим
A
˜
P
−1
+ A
T
R
−1
A
−1
A
T
= A
˜
P A
T
− A
˜
P A
T
C
−1
A
˜
P A
T
=
= (C −R) − (C − R)C
−1
(C −R) = R − R
A
˜
P A
T
+ R
−1
R.
Отсюда
R
−1
A
˜
P
−1
+ A
T
R
−1
A
−1
A
T
R
−1
= R
−1
−
A
˜
P A
T
+ R
−1
. (11.50)
Вычисляя квадратичную форму в (11.45) как (α + β −γ), введем промежу-
точные о б о значения:
ˆ
P =
˜
P
−1
+ A
T
R
−1
A
−1
,
a = A
T
R
−1
ζ ,
b =
˜
P
−1
˜
ξ ,
c = a + b .
(11.51)
256

Страницы