Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 259 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11.9 Полная статистическая интерпретация рекурсии в МНК
нятое неограничительное условие нормализации зашумленных наблюдений)
имеем
ˆx = arg min
ξ
(ζ − Aξ)
T
(ζ −Aξ) = ˆx
МНК
= ˆx
МП
,
то есть ˆx есть МНК-решение, ˆx
МНК
, системы (11.1), переписанной здесь в
виде ζ = Aξ + v с R = I, и одновременно, эт о ˆx есть оценка максимума
правдоподобия, ˆx
МП
.
Тем самым, получена полная статистическая интерпретация МНК-
решения с точки зрения теории оценок:
1. Если в МНК-решении учтена априорная информация, то полученное
решение совпадает с оценкой МАВ, ˆx
МАВ
(11.55). Эту оценку называют
также байесовской, поскольку ее вывод основан на формуле Байеса
(11.40). Любой алгоритм (т. е. инструмент) вычисления оценки назы-
вают оценивателем. Б а йесовский оцениватель в линейной задаче оце-
нивания с нормальными законами распреде ления случайных величин
дается формулами (11.55) и (11.56). Он совпадает с формулами филь-
тра Калмана — на этапе обновления оценок по измерениям, и он имеет
наглядную схемную интерпретацию на рис. 11.5 .
2. Если в МНК-решении не учтена априорная информация, то получен-
ное решение имеет смысл оценки МП , ˆx
МП
. Пренебрежение априорной
информацией может быть вызвано тем, что она очень мала (недосто-
верна). Этот факт выражается простой записью:
˜
P = ε
−2
I при ε → 0,
как уже отмечалось на стр. 248.
3. Поскольку недос т ов ерность или скудность априорной информации вы-
ражается большим ростом диагональных элементов матрицы
˜
P по срав-
нению с внедиагональными элементами:
˜
P
−1
→ 0 при
˜
P
−1
= ε
2
I, ε → 0,
то
ˆ
P
−1
→ A
T
A, что формально видно из (11.51) при R = I. Оцени-
ватель, который пренебрегает априорной информацией, называют фи-
шеровским оценивателем в связ и с именем R. A. Fisher — известного
статистика. В этом оценивателе
ˆx
МАВ
→
A
T
A
−1
A
T
ζ = ˆx
МНК
, (11.57)
что следует из преобразований выражения (11.53) для (11.55) при
использовании (11.51) в пределе при
˜
P
−1
→ 0 (и с неограничительным
условием нормализации наблюдений R = I), — если, конечно, матрица
259

Страницы