ВУЗ:
Составители:
11 Оценивание по методу наименьших квадратов
A
T
A
обратима. Если же информационная матрица
A
T
A
получен-
ных измерений z ≡ ζ не обратима, тогда вместо (11.57) преде льное
соотношение записывается в виде
ˆx
МАВ
→ A
+
ζ +
I − A
+
A
˜
ξ = ˆx
МНК
, (11.58)
что вытекает из теоремы 10.16 (см. подразд. 10.1) и означает сходимость
ˆx
МАВ
к общему решению нормальных уравнений МНК .
Замечание 11.6. В (11.58 ) первое слагаемое есть нормальное псев-
дорешение при минимизации kz − Axk
2
, где z = ζ, а второе — проекция
любого
˜
ξ на N(A).
Теперь, в завершение необходимых действий по приведению (11.45)
к стандартному виду плотности для нормального закона распределения,
кроме (11.52), докажем, что
R
·
˜
P
A
˜
P A
T
+ R
=
ˆ
P
, (11.59)
где
ˆ
P определено формулой (11.56). Для этого введем вс помо гательную мат-
рицу
P
∗
=
˜
P
˜
P A
T
A
˜
P
A
˜
P A
T
+ R
.
Выполним ее блочное UL-разложение, где U — верхняя треугольная мат-
рица с положительно определенными блоками на диагонали, а L — нижняя
треугольная матрица с единичной диагональю. Получаем
P
∗
=
˜
P − KA
˜
P
˜
P A
T
0 A
˜
P A
T
+ R
I 0
K
T
I
.
Это позволяет найти о преде лите ль для P
∗
как произведение определителей
диагональных блоков. С учетом (11.5 6 ), имеем
P
∗
=
ˆ
P
·
A
˜
P A
T
+ R
. (11.60)
С другой ст о роны, воспольз уемся следующей леммой о б ращения симметрич-
ной положительно опреде ле нной матрицы [115].
Лемма 11 .2. При симметричных X
1
> 0, X
2
> 0 и произвольной
X
21
= X
T
21
справедливо равенство
X
1
X
12
X
21
X
2
−1
=
I −X
−1
1
X
12
0 I
X
−1
1
0
0
X
2
− X
T
12
X
−1
1
X
12
−1
×
×
I 0
−X
T
12
X
−1
1
I
.
260
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- …
- следующая ›
- последняя »
