Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 262 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11 Оценивание по методу наименьших квадратов
(б) A есть матрица наблюдений, которая показывает, какие линейные
комбинации элементов вектора x включены, по условиям задачи, в
вектор наблюдения z.
(в) При этом v есть случайная ошибка наблюдения, ковариация кото-
рой R задана как положительно определенная матрица. Однако,
если задача (11.62 ), (11.63) чисто алгебраическая, R = I.
(г) При статистической интерпретации, матрица
A
T
A
в (11.64) назы-
вается информационной матрицей Λ. Она обратима тогда и только
тогда, когда rank A = n (матрица A имеет полный сто лбцовый
ранг). Обратная к Λ матрица называется ковариационной матри-
цей ошибки оце нивания вектора x, P = Λ
−1
, и она характеризует
степень неопределенности в решении задачи оценки (в скалярном
случае она равна дисперсии).
3. Статистическая задача оценивания, указанная в предыдущем пункте,
приводит к таким же (алгебраически эквивалентным) результатам, как
решение алгебраической за дачи (11.62), (11.63).
4. Решение задачи (11.62), (11.63), так же как и решение ее статист иче-
ского эквивалента, может быть получено в рекуррентной форме, удоб-
ной с вычислительной точки зрения. Возможны две базовые эквива-
лентные рекуррентные ф о рмы (взаимно инверсные): информационная
схема оценивания (неявная относ ительно апостериорной оценки ˆx) и
ковариационная с хема оценивания (явная относительно ˆx).
5. Оцениватель максимального правдоподобия, выбирает оценку ˆx
МП
так,
чтобы максимизировать функцию правдоподобия (11.42). При гауссо-
вых незав ис имых ошибках она я в ля ется решением тех же самых нор-
мальных уравнений
A
T
R
−1
A¯x = A
T
R
−1
ζ , (11.66)
которые отвечают критерию взвешенных наименьших квадратов
min
x
(z − Ax)
T
R
−1
(z − Ax), z = ζ. (11.67)
По смыслу, ˆx
МП
есть значение неиз в естного вектора x, которое с наи-
большей вероятностью обеспечивает то событие , что при случайном
наблюдении (11.63) результат окажется равным ζ (ˆx
МП
обеспечивает
наибольшую вероятност ь события z = ζ). Эта оценка не учитывает
никакой априорной информации о векторе x. С другой стороны, оце нка,
262

Страницы