ВУЗ:
Составители:
12
Одновременное решение
нормальных уравнений
12.1 Метод нормальных уравнений
Нормальные уравнения (11.3) показаны выше (см. стр. 238). Довольно
часто их используют для отыскания МНК-решения ¯x [97]. Этот подход про-
тивоположен последовательным методам, берущим начало от идеи расщеп-
ления исходной переопределенной системы на априорную и текущую части
(см. подразд. 11.5). Поэтому иногда его называют «одновременным реше-
нием» всех нормальных уравнений, характеризующих всю исходную пере-
определенную с ис тему Ax ≈ z (см. стр. 238 и выражение (11.1 )).
Метод Нормальных Уравнений. Алгоритм использует полный вектор
наблюдений z ∈ R
m
и всю матрицу плана эксперимента A ∈ R
m×n
, имеющую
rank(A) = n. По мат рице A и вектору z алгоритм вычисляет решение ¯x
задачи наименьших квадратов, доставляющее min kz −Axk
2
. Алгоритм:
1. Вычисляет нижний треугольник матрицы Λ = A
T
A.
2. Вычисляет d = A
T
z.
3. Вычисляет разложение Холесского Λ = SS
T
.
4. Решает сначала с ис т ему Sy = d и затем систему S
T
¯x = y.
Здесь в качеств е разложения Холесского может быть взято либо нижнее
треугольное разложение (S = L), либо верхнее треугольное разложение (при
S = U) — см. подразд. 6.2, стр. 91. Оба эти варианта требуют многократного
применения операции извлечения квадратного корня. Если в п. 3 алг о ритма
вычислять разложение Холесского без операции квадратного корня: либо
Λ =
¯
SD
¯
S
T
c
¯
S =
¯
L, либо
¯
S =
¯
U, то п. 4 заменится на последовательное
решение трех сист ем:
¯
Sw = d ⇒ Dy = w ⇒
¯
S
T
¯x = y.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- …
- следующая ›
- последняя »
