Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 266 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

12 Одновременное решение нормальных уравнений
Б. Повторить п. А задания на основе метода нормальных уравнений
A
T
A¯x = A
T
z, которым удовлетворяет искомое решение ¯x в смысле наи-
меньших квадратов, называемое нормальным псевдорешением несовместной
системы Ax ≈ z. Для этого применить вашу программу решения систем ы
уравнений с симметричной положительно определенной матрицей методом
квадратного корня (разложение Холесского) из лабораторной работы № 5.
В. Спроектировать и провести вычислительный эксперимент для срав-
нения скорости выполнения двух программ по пп. А. и Б. Использовать
четыре различных варианта генерации n векторов длины m для формиро-
вания матрицы A (см. подразд. 12.2) при 2 ≤ n ≤ 12, n + 1 ≤ m ≤ 26.
Результаты представить в виде таблиц и графиков, которые иллюстрируют
поведение каждого метода на каждом варианте генерации матрицы A. Дать
обобщенную (по в ариантам матрицы) картину зависимост и времени выпол-
нения от значений параметров m и n матрицы. Проанализировать соотно-
шение между фактическим временем выполнения и числом операций, рас-
считанным по пп. А и Б. Правые части уравнений формировать, как указано
в следующем пункте задания.
Г. П одобно п. В, сравнить т о чнос т ь нахождения нормального псевдореше-
ния переопределенной системы линейных уравнений для методов из пп. А
и Б. Для этого также четырьмя способами сгенерировать матрицу A (см.
подразд. 12.2), выбрать (принудительно з а дать ) точное нормальное псев-
дорешение x
∗
и образовать вектор z
∗
= Ax
∗
. К элементам этого вектора
добавить случайные числа v
i
, чтобы образоват ь правые части z
i
= z
∗
i
+ av
i
,
i = 1, 2, . . . , m. Написать подпрограмму ге не рации псевдослучайных чисел
v
i
так, чтобы каждое v
i
, имело стандартное нормальное распределение (с
нулевым средним значе нием и единичной дисперсией). При этом любые слу-
чайные величины v
i
, v
j
(i 6= j) должны моделироваться как попарно нез а -
висимые. Предусмотреть множитель-переключатель a, чтобы по желанию
включать или отключать добавление с лучайных чисел v
i
, или же регулиро-
вать их уровень.
В качестве точного нормального псевдорешения взять вектор x
∗
=
= [1, 2, . . . , m]
T
. Для оценки точнос т и оценивания использовать норму в ек-
тора
kxk
∞
= max
i
(|x
i
|).
При использовании программы, где в ыполняется ортогональное приведе-
ние Q A = B, для проверки правильности метода убедиться в справедливо-
266

Страницы