Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 276 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

13 Устойчивые алгоритмы фильтрации
В. Завершающее присваивание: P(t
+
i
) :=
b
P , bx(t
+
i
) := bx,
где h — j-й столбец матрицы H
T
(t
i
) z — j-й элемент вектора z(t
i
) ,
j = 1, 2, . . . , m .
13.5 Квадратно-корневой фильтр Поттера
Как отмечалось в подразд. 11.8, здесь вместо матриц P(t
±
i
), по своей при-
роде положительно определенных, оперируют с их квадратными корнями
S(t
±
i
), отвечающими равенствам S(t
±
i
)S
T
(t
±
i
) = P (t
±
i
). Ясно, что эти соот-
ношения не дают однозначного определения квадратных корней. Однако
это обстоятельство в общем случае не вызывает беспокойства, поскольку
эти корни однозначно определяются по разложению Холесского (например,
LL
T
-разложение или другие, см. разд. 6 ).
Основная идея метода ф ильтрации с использованием квадратного корня
состоит в заме не уравнений алгоритма Калмана на аналогичные, предназна-
ченные для последовательного расчета S(t
±
i
). Такой подход оправдывается
тем, что произведение S(t
±
i
)S
T
(t
±
i
) не теряет св о йс т в о положительной о пре-
деленности (при условии полноты ранга) даже с учетом ошибок округления,
тогда как ошибки округления могут приводить к потере этого свойства для
матрицы P (t
+
), если она вычисляется по стандартному алгоритму (13.3).
На этапе экстраполяции, с учетом разложения м а трицы P (t
−
i
) и также
Q(t
i−1
) = Q
1/2
(t
i−1
)Q
T/2
(t
i−1
), уравнение для не е принимает следующий вид:
S(t
−
i
)S
T
(t
−
i
) = Φ(t
i
, t
i−1
)S(t
+
i−1
)S
T
(t
+
i−1
)Φ
T
(t
i
, t
i−1
)+
+ Γ(t
i−1
)Q
1/2
(t
i−1
)Q
T/2
(t
i−1
)Γ
T
(t
i−1
).
Непосредственно вычислять матрицу S(t
−
i
) можно путем построения орто-
гональной матрицы T размера (n + s) ×(n + s), такой что
S
T
(t
−
i
)
0
= T
S
T
(t
+
i−1
)Φ
T
(t
i
, t
i−1
)
Q
T/2
(t
i−1
)Γ
T
(t
i−1
)
.
Это обеспечивает любой алгоритм ортогональных преобразований. Хороший
результат дает [80] модифицированный алгоритм Грама–Шмидта. В резуль-
тате после этапа экстраполяции матрица S( t
−
i
) всегда будет получаться тре-
угольной.
На этапе обработки измерения требуем иметь уравнение
b
P :=
e
P − Kh
e
P
в виде
b
S
b
S
T
:=
e
S(I
n
−ff
T
/α)
e
S
T
. Определим число β так, чтобы обеспечить
тождественност ь : I
n
− f f
T
/α = (I
n
− βff
T
)(I
n
− βff
T
).
276

Страницы