Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 278 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

13 Устойчивые алгоритмы фильтрации
13.6 Одноранговое обновление ПО-матриц
Рассмотрим теорему об одноранговом обновлении положительно опреде-
ленной матрицы [15], которую доказали Agee и Turner (1972) для версии
UDU
T
разложения ПО–матрицы. Перефо рмулируем ее для варианта LDL
T
разложения.
Теорема 13.1 (Agee–Turner, 1972). Пусть матрица L — нижняя тре-
угольная с единичной диагональю, матрица
e
D = diag [
e
d
1
,
e
d
2
, . . . ,
e
d
n
] — диа-
гональная и P = L
e
DL
T
. Пусть также заданы некоторый с каляр c и ве ктор–
столбец a = [a
1
, a
2
, . . . , a
n
]
T
, такие что 0 <
¯
P = P + caa
T
. Тогда разложение
¯
P =
¯
L
¯
D
¯
L
T
, где
¯
L — нижняя треугольная с единичной диагональю матрица
и
¯
D = diag [
¯
d
1
,
¯
d
2
, . . . ,
¯
d
n
], существует и дается следующим алгоритмом:
А. Начальное присваивание: c
1
= c.
Б. Для i = 1, 2, . . . , n − 1 выполнять:
1)
¯
d
i
=
e
d
i
+ c
i
a
2
i
;
2) Для k = i + 1, i + 2, . . . , n выполнять:
i. a
k
:= a
k
− a
i
l
ki
;
ii.
¯
l
ki
= l
ki
+ c
i
a
i
a
k
/
¯
d
i
; ✮ В матрицах L нетривиальные элементы
находятся только ниже диагонали.
3) c
i+1
= c
i
e
d
i
/
¯
d
i
.
В. Завершающее присваивание:
¯
d
n
=
e
d
n
+ c
n
a
2
n
.
Доказательство. Запишем квадратичную форму 0 < x
T
¯
P x в виде
суммы полных квадратов с подстановкой в нее левой и правой частей равен-
ства
¯
P = P + caa
T
. Продолжим доказательство в виде несложного упраж-
нения, последовательно выделяя эти полные квадраты с правой стороны
полученного равенс тв а квадратичных форм (см. [78]). Проделайте это само-
стоятельно в виде упражнения. 2
Упражнение 13.1. Аналогично предыдущему, докажите следующую
версию Теоремы 13.1.
Теорема 13.2. Пусть
e
L — нижняя т реугольная матрица и
e
P =
e
L
e
L
T
.
Скаляр c и вектор–столбец a = [a
1
, a
2
, . . . , a
n
]
T
такие что 0 <
¯
P =
e
P + caa
T
.
Тогда разложение
¯
P =
¯
L
¯
L
T
существует и дается следующим алгоритмом:
278

Страницы