Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 280 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

13 Устойчивые алгоритмы фильтрации
На этапе экстраполяции с учетом разложения матрицы Q(t
i−1
) =
= L
q
(t
i−1
)D
q
(t
i−1
)L
T
q
(t
i−1
) и аналогичного разложения матрицы P (t
−
i
) урав-
нение для P (t
−
i
) принимает следующий вид:
P (t
−
i
) = L(t
−
i
)D(t
−
i
)L
T
(t
−
i
) = Φ(t
i
, t
i−1
)L(t
+
i−1
)D(t
+
i−1
)L
T
(t
+
i−1
)Φ
T
(t
i
, t
i−1
) +
+ Γ(t
i−1
)L
q
(t
i−1
)D
q
(t
i−1
)L
T
q
(t
i−1
)Γ
T
(t
i−1
).
Представим матрицу P (t
−
i
) в следующем в иде:
P (t
−
i
) =
Φ(t
i
, t
i−1
)L(t
+
i−1
)
Γ(t
i−1
)L
q
(t
i−1
)
×
× Diag [D(t
+
i−1
), D
q
(t
i−1
)]
L
T
(t
+
i−1
)Φ
T
(t
i
, t
i−1
)
L
T
q
(t
i−1
)Γ
T
(t
i−1
)
,
т. е. P (t
−
i
) = W (t
i
)D(t
i
)W
T
(t
i
),
W (t
i
) =
Φ(t
i
, t
i−1
)L(t
+
i−1
)
Γ(t
i−1
)L
q
(t
i−1
)
=
w
T
1
(t
i
)
. . .
w
T
n
(t
i
)
,
D(t
i
) = Diag [D(t
+
i−1
), D
q
(t
i−1
)] = Diag [D
1
(t
i
), . . . , D
N
(t
i
)],
где W (t
i
) – матрица разм ера (n×(n+s)) и N = n+s, s — размерность шума
w(t
i
) в уравнении состояния (13.1). Факторы L(t
−
i−1
) и D(t
−
i−1
) вычисляются
методом модифицированного взвешенного алгоритма Грама–Шмидта [15] на
этапе экстраполяции.
Перефразируя его для нижних тре угольных факторов, запишем следу-
ющий результат (для удобства изложения будем писать
e
L,
b
L,
e
D,
b
D, D, W
вместо L(t
−
i
), L(t
+
i
), D(t
−
i
), D(t
+
i
), D(t
i
), W (t
i
) соответственно):
Теорема 13.3 (Взвеш енная ортогонализация Грама–Шмидта и фак-
торизация матрицы — аналог теоремы VI.4.1 из [15]). Пусть векторы
w
1
, . . . , w
n
образуют линейно незав ис имую систем у, w
i
∈ R
N
, N ≥ n и D =
= Diag [D
1
, . . . , D
n
] > 0. Применим следующий алгоритм (нижний индекс
указывает номер нетривиального элемента матрицы / вектора):
А. Начальное присваивание: v
(1)
k
= w
k
, k = 1, . . . , n.
Б. Для j = 2, . . . , n выполнять:
e
d
j−1
= (v
(j−1 )
j−1
)
T
Dv
(j−1 )
j−1
;
e
l
k,j−1
= (v
(j−1 )
k
)
T
Dv
(j−1 )
j−1
/
e
d
j−1
, k = j, . . . , n;
v
(j)
k
= v
(j−1 )
k
−
e
l
k,j−1
v
(j−1 )
j−1
, k = j, . . . , n .
280

Страницы