Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 301 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

13.13 Пример задачи с мультиколлинеарностью
где N(0, I) — нормальное распределение с нулевым средним значением и
единичной матрицей ковариаций: E
vv
T
= I.
Упражнение 13.5. Докажите, что в данном примере нормальная сис-
тема A
T
Aˆx
N
= A
T
z относительно МНК-решения ˆx
N
∈ R
n
(здесь n = 2)
имеет вид
1 1
1 1
ˆx
N
=
N + 1
2
1
1
(13.21)
с общим решением
ˆx
N
= ˆx
◦
N
+ γ
1
−1
, ˆx
◦
N
=
N + 1
4
1
1
, ∀γ ∈ R , (13.22)
где ˆx
◦
N
есть нормальное псевдорешение, — единственное МНК -решение с
минимальной нормой среди всех МНК -решений ˆx
N
, γ — любое число.
Пригоден ли здесь метод нормальных уравнений? Очевидно — нет, так
как нормальная система (13.21) в ырождена.
1. По поводу метода нормальных уравнений. Даже если нормальная сис-
тема не я вляется вырожденной, о на может оказаться плохо обуслов-
ленной. В данном примере она вырождена: Λ = N
1 1
1 1
. Кроме
того, фо рмирование нормальной системы может потребовать хранения
и затем одновременной обработки большого массива данных. На при-
мер, при обработке данных в астрономии или спутниковой геодезии N
(число экспериментальных данных в векторе z) очень ве лико — десятки
или сотни тысяч — при том, что число оце ниваемых парамет ров n в
векторе x сравнительно мало — несколько десятков [68]. Единовремен-
ная обработка сверхбольших массивов данных
A
z
в таких задачах,
очевидно, нецелесообразна. Главное, однако, не в этом, а в особенностях
численного решения задач с мультиколлинеарностью.
2. По поводу численного решения задачи. Решение нормальной системы
в ситуациях, близких к мультиколлинеарности, любым одновременным
методом (см. разд. 12, стр. 264) не дает результатов. Так, в данном
примере (13.19) метод Хаусхолдера, примененный к нормальным урав-
нениям (13.21), приводит их к э квивалентному виду
−
√
2 −
√
2
0 0
ˆx
N
=
N + 1
2
−
√
2
0
, (13.23)
с общим решением (13.22), но не позволяет выделить ˆx
◦
N
.
301

Страницы