Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 302 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

13 Устойчивые алгоритмы фильтрации
Может ли в подобных задачах помочь последоват ельная обработка, изло-
женная выше и принципиально возможная как в информационной форме
(см. подразд. 11.6, стр. 244), так и в ковариационной форме (см. под-
разд. 11.7–11.8 и далее подразд. 13.3–13.8)?
Введем обозначения: A
1
= [1
1], z
1
= [1], a
T
i
= [1
1], A
i+1
=
A
i
a
T
i
,
z
i+1
=
z
i
ζ
i+1
, ζ
i
= i, i = 1 , 2, . . . . Тогда A
N
= A, z
N
= z. Информационный
последовательный алгоритм для i = 1, 2, . . . имеет в ид:
Λ
i
= Λ
i−1
+ a
i
a
T
i
, Λ
0
=
0 0
0 0
, d
i
= d
i−1
+ a
i
ζ
i
, d
0
=
0
0
.
Тогда Λ
N
= Λ, d
N
=
N(N + 1)
2
1
1
, и при i = N получаем нормальную
систему (13.21) в виде Λ
N
ˆx
N
= d
N
. Отсюда видно, что при таком Λ
0
этот
информационный последовательный а лгоритм также не решает проблему.
Упражнение 13.6. Докажите, что если взять Λ
0
= ε
2
I, то Λ
i
=
=
i + ε
2
i
i i + ε
2
, d
i
=
i(i + 1)
2
1
1
, и нормальная сист ема имеет вид
Λ
i
ˆx
i
= d
i
, следовате льно, ˆx
i
= Λ
−1
i
d
i
=
i(i + 1)
2(2i + ε
2
)
1
1
ε→0
−→
i + 1
4
1
1
= ˆx
◦
i
.
Убедитесь, что прием, примененный в этом упражнении 13.6, фактически
совпадает с ридж-оцениванием [18] (гребневое оценивание), т. е. с методом
регуляризации Тихонова [67, 81]. Проблема, которая здесь остается, — выбор
малого ридж-параметра ε
2
. Из этого упражнения видно, что хотя рекуррент-
ный информационный алгоритм и прост в реализации, и ф о рмально дает
решение, стремящееся к нормальному псевдорешению ˆx
◦
i
при ε → 0, для яв-
ного его получения не избежать решения нормальной системы. При малом
ε
2
это с нова создает проблему. Ридж-оценивание е е не решает. Выход можно
искать в рекуррентном ковариационном алгоритме МНК.
Упражнение 13.7. Возьмите к качестве первог о рекуррентного кова-
риационного алгоритма МНК скаляризованную форму фильтра Калмана
(см. подразд. 13 .3) с начальной матрицей ковариации P
0
= Λ
−1
0
= ε
−2
I при
малом ε (в пределе ε → 0). Получите этот алгоритм в виде:
302

Страницы