Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 318 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

14 Ортогонализованные блочные алгоритмы
системы, u
t
— вектор управления, z
t
— доступный вектор наблюдений, x
t
—
вектор состояния системы с начальным значением x
0
∼ N(¯x
0
, P
0
).
Соединяя в (14.3)–(14.7) два этапа в один, для t = 0, 1, . . . получим (14.8)
и (14.9) — так называемую предиктивную форму фильтра Калмана:
оценка: ˆx
−
t+1
= Φ
t
ˆx
−
t
+ P
−
t
H
T
t
(H
t
P
−
t
H
T
t
+ R
t
)
−1
(z
t
− H
t
ˆx
−
t
)
(14.8)
с {·} = x
0
при t = 0 в (14.8), поскольку {·} в (14.8) выражает оценку (14.6),
отфильтрованную в результа т е обработки измерения, но измерений в момент
t = 0 еще нет (они начинаются с момента t = 1);
кова риация: P
−
t+1
= G
t
Q
t
G
T
t
+ Φ
t
P
−
t
− P
−
t
H
T
t
(H
t
P
−
t
H
T
t
+ R
t
)
−1
H
t
P
−
t
Φ
T
t
(14.9)
с {·} = P
0
при t = 0 в (14.9), поскольку {·} в (14.9) выражает ковариацию
(14.7) оценки (14.6), отфильтрованной в результате обработки измерения, но
измерений в момент t = 0 еще нет (они начинаются с момента t = 1 ).
Уравнение (14.9) есть уравнение Риккати [109] относительно P
−
t+1
.
Замечание 14.1. Видно, что в (14.8) отсутствует слагаемое B
t
u
t
.
Оно опущено в силу предположения u
t
≡ 0. В любой момент оно может быть
добавлено, если u
t
6= 0. Такой прием — убрать это слагаемое (для простоты
записей) или добавить его (в нужный момент) — можно применять всегда.
Квадратно-корневая реализация уравнений (14.3)–(14.9) c использова-
нием разложений вида P
±
t
= S
±
t
(S
±
t
)
T
рассмотрена выше (разд. 13). Там
уже возникала необходимость процедуры триангуляриза ции, т. е. процедуры
приведения матрицы S
±
t
к требуемому треугольному виду. Эту идею (при-
менительно к задаче фильтрации) предложил и разработал Schmidt, S.F.
[129] в 1970 г. В частности, Schmidt показал, что уравнение (14.4) для пред-
сказания матрицы ковариации ошибки оценивания на этапе экстраполяции
может быть заменено на эквивалентное уравнение
(S
−
t+1
)
T
0
= T
(S
+
t
)
T
˜
Q
T
t
G
T
t
, (14.10)
где S
−
t+1
, S
+
t
— нижние треугольные матрицы в представлениях P
−
t+1
=
= S
−
t+1
(S
−
t+1
)
T
, P
+
t
= S
+
t
(S
+
t
)
T
, Q
t
=
˜
Q
t
˜
Q
T
t
. Он также разработал алгоритм
построения о ртогонального преобразования T , приводящего к т ребуемому
треугольному виду матрицу, стоящую в правой части ф о рмулы (14.10). Эта
процедура известна как процедура ортогонализации Грама–Шмидта.
В 1971 г. Kaminski, P.G. предложил новые модификации ковариацион-
ных и информационных типов квадратно-корневых методов фильтрации,
318

Страницы