Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 320 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

14 Ортогонализованные блочные алгоритмы
14.3 Расширенный квадратно-корневой
ковариационный фильтр
Для удобства введем следующие обозначения. Когда некоторая мат-
рица A > 0, будем рассматривать для нее разложение Холесского вида:
A = A
T/2
A
1/2
, где A
1/2
— верхняя треугольная матрица, являющаяся квад-
ратным корнем из A. Тогда A
T/2
= (A
1/2
)
T
, A
−1/2
= (A
1/2
)
−1
и A
−T/2
=
= (A
−1/2
)
T
. Для величин, вычисляемых в фильтре Калмана, примем обо-
значения: K
p,t
, Φ
t
˜
P
t
H
T
t
R
−1
e,t
,
¯
K
p,t
, Φ
t
˜
P
t
H
T
t
R
−1/2
e,t
, ¯e
t
— нормализованные
невязки фильтра Калмана, т. е. ¯e
t
, R
−T/2
e,t
e, где e , z
t
− Hˆx
−
t
— невязка
измерений фильтра в момент времени t, характеризуема я ковариационной
матрицей E
e
t
e
T
t
, R
e,t
, R
e,t
, H
t
˜
P
t
H
T
t
+ R
t
. Кроме того, ˆx
−
t
, ˆx
+
t
—
предсказанная и отфильтрованная оценки вектора состояния системы (14.1),
(14.2), соответственно;
˜
P
t
,
ˆ
P
t
— матрицы ковариации ошибки предсказанной
и отфильт рованной оценок, соответственно.
Следуя цели данного раздела, рассмотрим так называемый расшире нный
квадратно-корневой ковариационный фильтр (РКККФ), впервые предло-
женный в [123].
Aлгоритм РККKФ
По данным ˆx
−
0
= ¯x
0
,
˜
P
0
= P
0
в каждый момент времени t, t = 1, 2, . . . ,
вычисляют:
R
1/2
e,t
¯
K
T
p,t
−¯e
t
0
˜
P
1/2
t+1
˜
P
−T/2
t+1
ˆx
−
t+1
0 0
γ
= O
t
R
1/2
t
0
−R
−T/2
t
z
t
˜
P
1/2
t
H
T
t
˜
P
1/2
t
Φ
T
t
˜
P
−T/2
t
ˆx
−
t
0 Q
1/2
t
G
T
t
0
, (14.13)
где O
t
— матр ица ортогонального преобразования, которая при умноже-
нии слева на матрицу в правой части форм улы (14.13) приводит ее к блоч-
ному верхнему треугольному виду. Кроме того, γ = −
˜
Q
−1/2
t
K
b,t
ˆx
−
t+1
, где
K
b,t
= Q
t
G
t
˜
P
−1
t+1
и
˜
Q
t
= Q
t
− Q
t
G
T
t
˜
P
−1
t+1
G
t
Q
t
.
Теоретическое обоснование приведенного алгоритма можно найти в [123].
Отметим, что уравнения (14.8), (14.9) стандартного фильтра Калмана
(СКФ) алге браически эквивалентны формуле (14. 1 3 ). Данный РКККФ есть
не что иное как «расширение» с тандартного квадратно-корневого ковариа-
ционного алгоритма фильтрации (см. формулу (14.12)) пос редс тв о м добав-
ления еще одного столбца — столбца данных:
h
−z
T
t
R
−1/2
t
,
ˆx
−
t
T
˜
P
−1/2
t
, 0
i
T
. (14.14)
320

Страницы