Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2.4 Алгоритмы метода Жордана
2.4 Алгоритмы метода Жордана
К последней группе методов исключения относятся алгоритмы метода
Жордана. Эти алгоритмы используют те же самые формулы, что и обычный
метод Гаусса, но в отличие от него на k-м шаге метода Жо рдана пересчиты-
вают все строки матрицы A, а не только строки, находящиеся ниже ведущей
строки. Это означает полное исключение i-й переменной из всех уравнений,
кроме i-го. Таким образо м , метод Жордана формально дае т решение си-
стемы линейных алгебраических уравнений за один проход.
Теорема 2.3. Выполнение действий полного исключения в том же
массиве, где первоначально располагалась ма т рица A, дает т о же самое раз-
ложение A = L
¯
U, что и ме т од Гаусса, но существенно в другом виде, а
именно: матрица L получается, как и в м етоде Гаусса, но матрица
¯
U оказы-
вается полученной не в «чистом виде», а в виде обратной матрицы
¯
U
−1
и с
той особенностью, что все знаки эле м ентов матрицы
¯
U
−1
выше диагонали
имеют неправильные (противоположные) знаки.
Доказательство. Нужно воспользоваться определениями элементар-
ных матриц специального вида [10] и их свойствам и. Приведем эт и опреде-
ления и свойства и затем продолжим доказ а т ельство.
Определение 2.4. Элементарная матрица E есть любая матрица
вида E = I + B, где rank B = 1.
Упражнение 2 .4. Докажите, что E = I + xy
T
, где x и y — некоторые
векторы.
Определение 2.5. Введем следующие специальные элементарные
матрицы:
D
k
— диагональная k-матрица. Им еет единичную диагональ, кроме k-го
элемента, который не тривиален, т. е. не равен нулю или единице.
L
C
k
— столбцово-э лементарная нижняя треугольная k-матрица. Имеет е ди-
ничную диагональ и нетривиальные элементы только в k-м столбце.
L
R
k
— строчно-элементарная нижняя треугольная k-матрица. Им еет еди-
ничную диагональ и нетривиальные элементы только в k-й строке.
U
C
k
— столбцово-элементарная верхняя т ре угольная k-матрица. Имее т еди-
ничную диагональ и нетривиальные элементы только в k-м столбце.
37

Страницы